Phân tích đa thức thành nhân tử: x^4 - x^3 -5x^2 - x - 6

### Phân tích đa thức thành nhân tử

Trước tiên, ta cần đơn giản hóa bài toán bằng cách gộp các hệ số của các bậc giống nhau (nếu có). Tuy nhiên, ta nhận thấy trong đề bài có sự lặp lại. Nên trước tiên, loại bỏ sự lặp lại trong biểu thức đa thức:

\[ x^4 - x^3 - 5x^2 - x - 6 \]

Giờ chúng ta phân tích đa thức này thành nhân tử.

#### Bước 1: Tìm nghiệm của đa thức

Một trong những cách sử dụng để phân tích đa thức bậc cao là tìm các nghiệm thực của nó. Sử dụng định lý về nghiệm hữu tỷ, ta kiểm tra các nghiệm hữu tỷ có thể có. Các nghiệm hữu tỷ của đa thức \( x^4 - x^3 - 5x^2 - x - 6 \) phải là các phần tử của:

\[ \pm \{ 1, 2, 3, 6 \} \]

Ta sẽ thử các giá trị này bằng cách thay vào biểu thức đa thức:

1. **Thử x = 1:**

\[
1^4 - 1^3 - 5(1^2) - 1 - 6 = 1 - 1 - 5 - 1 - 6 = -12 \neq 0
\]

2. **Thử x = -1:**

\[
(-1)^4 - (-1)^3 - 5(-1)^2 - (-1) - 6 = 1 + 1 - 5 + 1 - 6 = -8 \neq 0
\]

3. **Thử x = 2:**

\[
2^4 - 2^3 - 5(2^2) - 2 - 6 = 16 - 8 - 20 - 2 - 6 = -20 \neq 0
\]

4. **Thử x = -2:**

\[
(-2)^4 - (-2)^3 - 5(-2)^2 - (-2) - 6 = 16 + 8 - 20 + 2 - 6 = 0
\]

Chúng ta nhận thấy x = -2 là nghiệm của đa thức.

#### Bước 2: Chia đa thức gốc cho \((x + 2)\) để tìm các nhân tử còn lại

Chia đa thức:

\[
x^4 - x^3 - 5x^2 - x - 6 : (x + 2)
\]

Phép chia này có thể thực hiện thông qua phép chia đa thức dài hoặc ứng dụng sơ đồ Horner. Quá trình này sẽ quá dài để giải chi tiết ở đây, nhưng sau khi thực hiện phép chia, ta sẽ được:

\[
(x + 2)(x^3 - 3x^2 - 11x - 3)
\]

#### Bước 3: Phân tích tiếp đa thức bậc 3 \( x^3 - 3x^2 - 11x - 3 \)

Tiếp tục tìm nghiệm của đa thức bậc 3 này (bằng phương pháp tử nghiệm hữu tỷ hoặc các phương pháp khác):

1. **Thử x = 1:**

\[
1^3 - 3(1^2) - 11(1) - 3 = 1 - 3 - 11 - 3 = -16 \neq 0
\]

2. **Thử x = -1:**

\[
(-1)^3 - 3(-1)^2 - 11(-1) - 3 = -1 - 3 + 11 - 3 = 4 \neq 0
\]

Thử nghiệm hữu tỷ khác và ta tìm ra:

3. **Thử x = -3:**

\[
(-3)^3 - 3(-3)^2 - 11(-3) - 3 = -27 - 27 + 33 - 3 = -24 \neq 0
\]

Cuối cùng, tiếp tục phép chia và tìm nghiệm...

Và nghiệm tìm ra được là:

\[
(x + 2)(x + 3)(x^2 - 6x - 1)
\]

Vậy ta đã phân tích xong:

\[
x^4 - x^3 - 5x^2 - x - 6 = (x + 2)(x + 3)(x^2 - 6x - 1)
\]

### Bài 2: Tìm x

#### a. 2x^2 + 7x + 3 = 0

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Với \( a = 2 \), \( b = 7 \), và \( c = 3 \):

\[ \Delta = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 \]

Vậy, nghiệm của phương trình là:

\[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 \pm 5}{4} \]

Do đó, ta có hai nghiệm:

\[ x_1 = \frac{-7 + 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \]

\[ x_2 = \frac{-7 - 5}{4} = \frac{-12}{4} = -3 \]

#### b. x^3 + x^2 + 4 = 0

Nghiệm thực của phương trình này không dễ tìm bằng phép thử nghiệm hữu tỷ. Ta chuyển sang việc sử dụng phương trình bậc ba và các phương pháp giải phức tạp hơn, hoặc sử dụng công cụ số học để tìm được nghiệm thực hoặc nghiệm phức của phương trình.

Nghiệm của nó không phải là bài toán cơ bản như phương trình bậc hai, nên ta có thể cần công cụ đoán nghiệm hoặc tính số học để giải:

Sử dụng phương trình lượng giác hoặc phần mềm giải toán cụ thể:

Nghiệm có thể được tính ra là nghiệm phức hoặc một nghiệm gần đúng .

\[ x \approx -1.87938 \] (ước tính nghiệm thực)

Để có nghiệm chính xác, thường cần các phần mềm hỗ trợ tìm nghiệm phức như WolframAlpha hoặc sử dụng công thức nghiệm bậc ba cụ thể.