Để giải phương trình:
\[ \frac{x - 1}{x - 5} - \frac{4x}{x + 5} = \frac{9x - 5}{x^2 - 25} \]

Chúng ta thực hiện các bước sau:

1. Đầu tiên, ta nhận ra rằng \( x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5) \). Dùng kiến thức này để biến đổi phương trình:
\[ \frac{x - 1}{x - 5} - \frac{4x}{x + 5} = \frac{9x - 5}{(x - 5)(x + 5)} \]

2. Vì mẫu số chung của các phân số là \( (x - 5)(x + 5) \), ta sẽ quy đồng mẫu số để cộng trừ phân số. Biểu diễn lại phương trình như sau:
\[ \frac{(x - 1)(x + 5) - 4x(x - 5)}{(x - 5)(x + 5)} = \frac{9x - 5}{(x - 5)(x + 5)} \]

3. Đơn giản hóa tử số:
\[
(x - 1)(x + 5) = x^2 + 5x - x - 5 = x^2 + 4x - 5
\]
\[
4x(x - 5) = 4x^2 - 20x
\]
Thay vào phương trình ta có:
\[
\frac{x^2 + 4x - 5 - (4x^2 - 20x)}{(x - 5)(x + 5)} = \frac{9x - 5}{x^2 - 25}
\]

4. Tiếp tục đơn giản hóa tử số:
\[
x^2 + 4x - 5 - 4x^2 + 20x = -3x^2 + 24x - 5
\]
Thay vào phương trình ta có:
\[
\frac{-3x^2 + 24x - 5}{(x - 5)(x + 5)} = \frac{9x - 5}{x^2 - 25}
\]

5. Vì các mẫu số \( (x - 5)(x + 5) \) bằng nhau, ta có thể lập phương trình từ tử số:
\[
-3x^2 + 24x - 5 = 9x - 5
\]

6. Giải phương trình bậc hai:
\[
-3x^2 + 24x - 5 = 9x - 5
\]
\[
-3x^2 + 24x - 5 - 9x + 5 = 0
\]
\[
-3x^2 + 15x = 0
\]
\[
-3x(x - 5) = 0
\]

7. Điều này đưa tới hai nghiệm:
\[
-3x = 0 \implies x = 0
\]
\[
x - 5 = 0 \implies x = 5
\]

Tuy nhiên, ta cần kiểm tra \( x \neq 5 \) vì phương trình gốc có mẫu số \( x - 5 \):

Do đó, nghiệm cuối cùng là:
\[ x = 0 \]

Kết luận: Nghiệm duy nhất của phương trình là \( x = 0 \).