Để tìm số tự nhiên \(n\) sao cho biểu thức \(P = \frac{3n^2 + 20}{n^2 + 4}\) đạt giá trị lớn nhất, chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách phân tích biểu thức này.

**Bước 1: Đặt biểu thức và tối ưu hóa**

Biểu thức \(P\) được viết lại như sau:

\[
P(n) = \frac{3n^2 + 20}{n^2 + 4}
\]

**Bước 2: Tính đạo hàm**

Chúng ta cần tính đạo hàm của \(P(n)\) và tìm cực trị. Sử dụng quy tắc chia (quy tắc thương):

\[
P'(n) = \frac{(n^2 + 4)(6n) - (3n^2 + 20)(2n)}{(n^2 + 4)^2}
\]

**Bước 3: Giải phương trình đạo hàm bằng 0**

Khi đạo hàm bằng 0, ta giải phương trình:

\[
(n^2 + 4)(6n) - (3n^2 + 20)(2n) = 0
\]

Rút gọn phương trình:

\[
6n(n^2 + 4) - 2n(3n^2 + 20) = 0
\]

\[
6n^3 + 24n - 6n^3 - 40n = 0
\]

\[
-16n = 0 \quad \Rightarrow \quad n = 0
\]

**Bước 4: Xét giá trị tại các số tự nhiên**

Vì chúng ta đang tìm giá trị lớn nhất trong các số tự nhiên, hãy kiểm tra các giá trị \(n = 1, 2, 3, 4, 5, ...\) để tìm giá trị của \(P(n)\).

\[
P(1) = \frac{3(1)^2 + 20}{(1)^2 + 4} = \frac{3 + 20}{1 + 4} = \frac{23}{5} = 4.6
\]

\[
P(2) = \frac{3(2)^2+20}{(2)^2+4} = \frac{12 + 20}{4 + 4} = \frac{32}{8} = 4
\]

\[
P(3) = \frac{3(3)^2 + 20}{(3)^2 + 4} = \frac{27 + 20}{9 + 4} = \frac{47}{13} \approx 3.615
\]

\[
P(4) = \frac{3(4)^2 + 20}{(4)^2 + 4} = \frac{48 + 20}{16 + 4} = \frac{68}{20} = 3.4
\]

\[
P(5) = \frac{3(5)^2 + 20}{(5)^2 + 4} = \frac{75 + 20}{25 + 4} = \frac{95}{29} \approx 3.276
\]

**Bước 5: Kết luận**

Qua các tính toán trên, chúng ta có:

- \(P(1) = 4.6\)
- \(P(2) = 4\)
- \(P(3) \approx 3.615\)
- \(P(4) = 3.4\)
- \(P(5) \approx 3.276\)

Như vậy, giá trị lớn nhất của \(P(n)\) xảy ra khi \(n = 1\).

**Kết quả:**
Số tự nhiên \(n\) sao cho \(P\) đạt giá trị lớn nhất là \(n = 1\).