Để giải quyết các bài tập trong ví dụ này, chúng ta sẽ áp dụng định nghĩa lũy thừa với số mũ tự nhiên cho các bài toán cụ thể. Dưới đây là hướng dẫn giải cho từng câu:

### 1. Tính:
**a)** \(\left(-\frac{1}{2}\right)^4\)

Sử dụng định nghĩa lũy thừa:
\[
\left(-\frac{1}{2}\right)^4 = \left(-\frac{1}{2}\right) \times \left(-\frac{1}{2}\right) \times \left(-\frac{1}{2}\right) \times \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{16}
\]

**b)** \(\left(\frac{2}{5}\right)^3\)

\[
\left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{2^3}{5^3} = \frac{8}{125}
\]

**c)** \((-3)^4\)

\[
(-3)^4 = (-3) \times (-3) \times (-3) \times (-3) = 81
\]

**d)** \((-9)^{36}\)

\[
(-9)^{36} = (-9) \times (-9) \times \ldots \, (36 \text{ lần}) = 9^{36} \text{ (số mũ chẵn)} = \text{ một số dương rất lớn}
\]

### 2. Tính:
\[
(-1)^1 \cdot (-1)^{2} \cdot (-1)^3 \cdots \cdot (-1)^{10}
\]

Chúng ta có 10 số hạng, trong đó có 5 số mũ chẵn và 5 số mũ lẻ. Tổng tích sẽ là:
\[
(-1)^{10} = 1 \text{ (vì số mũ chẵn)}
\]

### 3. Viết các số hữu tỉ sau dưới dạng lũy thừa của một số:
**a)** \(-\frac{27}{125}\)

\[
-\frac{27}{125} = -\left(\frac{3^3}{5^3}\right) = -\left(\frac{3}{5}\right)^3
\]

**b)** \(\frac{16}{81}\)

\[
\frac{16}{81} = \frac{4^2}{3^4} = \left(\frac{4}{3}\right)^2
\]

**c)** \(625\)

\[
625 = 25^2 = (5^2)^2 = 5^4
\]

**d)** \(-0.001\)

\[
-0.001 = -\frac{1}{1000} = -\frac{1}{10^3} = -\left(\frac{1}{10}\right)^3
\]

Tóm lại, các kết quả đã được tính toán và viết lại dưới dạng lũy thừa theo yêu cầu. Nếu cần thêm thông tin hay giải thích, hãy cho biết!