Tìm số dư khi chia T = 2^1 + 2^3 + 2^5 +.....+ 2^303 cho : 85

Để tìm số dư của \( T = 2^1 + 2^3 + 2^5 + \ldots + 2^{303} \) khi chia cho 85, trước hết, chúng ta có thể nhận thấy rằng tổng của chuỗi này chỉ bao gồm các lũy thừa của 2 với số mũ là các số lẻ từ 1 đến 303.

### Bước 1: Tính số hạng tổng
Số hạng lẻ từ 1 đến 303 có thể được tính như sau:
- Số hạng đầu: \( 1 \)
- Số hạng cuối: \( 303 \)

Chuỗi số lẻ này tạo thành một chuỗi số học với số hạng đầu \( a = 1 \), số hạng cuối \( b = 303 \), và công sai \( d = 2 \). Số hạng trong chuỗi này là:
\[
n = \frac{b - a}{d} + 1 = \frac{303 - 1}{2} + 1 = 152
\]

### Bước 2: Công thức tổng
Vì vậy, tổng \( T \) có thể được viết lại bằng công thức tổng chuỗi số mũ:
\[
T = 2^1 + 2^3 + 2^5 + \ldots + 2^{303}
\]
Có thể biểu diễn lại dưới dạng:
\[
T = 2^1 (1 + 2^2 + 2^4 + \ldots + 2^{302})
\]

Qua đó, rút ra:
\[
S = 1 + 2^2 + 2^4 + \ldots + 2^{302}
\]

Chuỗi này là một chuỗi hình học với số hạng đầu \( 1 \), tỷ lệ \( 2^2 = 4 \), và có tổng số hạng là \( 152 \) (tương ứng với từ \( 0 \) đến \( 302/2 \)).

### Bước 3: Tính tổng của chuỗi hình học
Công thức tổng của chuỗi hình học được tính bằng:
\[
S = \frac{1 - r^n}{1 - r}
\]
với \( r = 4 \) và \( n = 152 \):
\[
S = \frac{1 - 4^{152}}{1 - 4} = \frac{1 - 4^{152}}{-3} = \frac{4^{152} - 1}{3}
\]

Như vậy, có:
\[
T = 2^1 S = 2 \cdot \frac{4^{152} - 1}{3} = \frac{2(4^{152} - 1)}{3}
\]

### Bước 4: Tính số dư khi chia cho 85
Ta cần tính \( T \mod 85 \).

Trước hết, hãy tính \( 4^{152} \mod 85 \).
Sử dụng định lý Fermat, ta có \( 85 = 5 \times 17 \).

#### Tính mod 5:
Ta có:
\[
4 \equiv -1 \mod 5 \implies 4^{152} \equiv (-1)^{152} \equiv 1 \mod 5
\]

#### Tính mod 17:
Ta có:
\[
4^{16} \equiv 1 \mod 17 \implies 4^{152} = 4^{16 \cdot 9 + 8} \equiv (4^{16})^9 \cdot 4^8 \equiv 1^9 \cdot 4^8 \mod 17
\]
Tiếp theo, ta cần tính \( 4^8 \mod 17 \):
\[
4^2 = 16 \equiv -1 \mod 17 \implies 4^4 = (-1)^2 = 1 \mod 17 \implies 4^8 \equiv 1 \mod 17
\]
Vậy \( 4^{152} \equiv 1 \mod 17 \).

#### Tính kết hợp:
Vậy từ đó \( 4^{152} \equiv 1 \mod 85 \).
Chúng ta có:
\[
T = \frac{2(4^{152} - 1)}{3} = \frac{2(1 - 1)}{3} = 0 \mod 85.
\]
Kết quả là:
\[
T \equiv 0 \mod 85
\]

### Kết luận
Số dư khi chia \( T = 2^1 + 2^3 + 2^5 + \ldots + 2^{303} \) cho 85 là:
\[
\boxed{0}
\]