Cho hình bình hành ABCD, AC cắt BD tại O, gọi a và b là hai đường thẳng bất kì đi qua O, đường thẳng a và b lần lượt cắt AB tại E và F, đường thẳng a và b lần lượt cắt CD tại I và K

Để chứng minh rằng \( EF = IK \) trong hình bình hành \( ABCD \) với các điểm cắt như đã mô tả, ta có thể sử dụng một số tính chất của hình bình hành và tỷ lệ đoạn thẳng.

1. **Các tính chất của hình bình hành**:
- Các cạnh đối diện của hình bình hành bằng nhau: \( AB = CD \) và \( AD = BC \).
- Các đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.

2. **Cách chứng minh**:

- Gọi \( O \) là giao điểm của các đường chéo \( AC \) và \( BD \).
- Gọi \( O \) là điểm trung điểm của đường chéo \( AC \) và \( BD \).

Do đó, ta có thể sử dụng tỷ lệ giữa các đoạn thẳng. Đường thẳng \( a \) và \( b \) đều đi qua \( O \), vì vậy tỉ lệ chia đoạn \( AB \) và \( CD \) theo các điểm \( E, F \) và \( I, K \) có thể được phát biểu như sau:

\[
\frac{OE}{OF} = \frac{OI}{OK}
\]

Khi ta có \( OE + EF = OF \) và \( OI + IK = OK \).

Vì các đoạn \( OE, OF, OI, OK \) đều nằm chung trong một tam giác và được cắt bởi một đường thẳng (các đường thẳng \( a \) và \( b \)), theo tính chất tỷ lệ của cắt đoạn, chúng ta có:

\[
\frac{EF}{IK} = \frac{OE}{OI}
\]

Tuy nhiên, do hình bình hành có tính chất đối xứng và đoạn \( EO = OI \) và \( FO = OK \) trở nên bằng nhau, do đó:

\[
EF = IK
\]

3. **Vẽ sơ đồ**:

Để hỗ trợ cho việc hiểu, bạn có thể tự vẽ hình bình hành \( ABCD \) với các đường chéo \( AC \) và \( BD \) cắt nhau tại điểm \( O \), sau đó vẽ hai đường thẳng \( a \) và \( b \) đi qua \( O \) và cắt \( AB \) tại \( E \), \( F \) và cắt \( CD \) tại \( I \), \( K \). Đây sẽ cho bạn cái nhìn trực quan về việc các đoạn thẳng này có tỷ lệ bằng nhau.

Kết luận: Trong hình bình hành, với các đường thẳng cắt như đã mô tả, ta có \( EF = IK \).