Cho A = 44...44 (2n chữ số), B = 22...22 (n + 1 chữ số)

Để chứng minh rằng \( A - B + 3 \) là số chính phương, trước tiên chúng ta cần xác định giá trị của A và B.

1. **Xác định A và B:**

\( A \) có \( 2n \) chữ số, trong đó tất cả đều là 4. Do đó,
\[
A = 444...4 = 4 \times (10^{2n - 1} + 10^{2n - 2} + ... + 10^0) = 4 \times \frac{10^{2n} - 1}{10 - 1} = \frac{4}{9} (10^{2n} - 1).
\]

\( B \) có \( n + 1 \) chữ số, trong đó tất cả đều là 2. Do đó,
\[
B = 222...2 = 2 \times (10^{n} + 10^{n - 1} + ... + 10^0) = 2 \times \frac{10^{n + 1} - 1}{10 - 1} = \frac{2}{9} (10^{n + 1} - 1).
\]

2. **Tính \( A - B + 3 \):**

Tính \( A - B \):
\[
A - B = \frac{4}{9} (10^{2n} - 1) - \frac{2}{9} (10^{n + 1} - 1).
\]
Đưa về cùng mẫu số:
\[
A - B = \frac{4(10^{2n} - 1) - 2(10^{n + 1} - 1)}{9}.
\]
Tính biểu thức trong dấu ngoặc:
\[
A - B = \frac{4 \cdot 10^{2n} - 4 - 2 \cdot 10^{n + 1} + 2}{9} = \frac{4 \cdot 10^{2n} - 2 \cdot 10^{n + 1} - 2}{9}.
\]

Cho thêm 3 vào:
\[
A - B + 3 = A - B + 3 = \frac{4 \cdot 10^{2n} - 2 \cdot 10^{n + 1} - 2}{9} + 3 = \frac{4 \cdot 10^{2n} - 2 \cdot 10^{n + 1} - 2 + 27}{9} = \frac{4 \cdot 10^{2n} - 2 \cdot 10^{n + 1} + 25}{9}.
\]

3. **Chứng minh rằng \( A - B + 3 \) là số chính phương:**

Để chứng minh \( A - B + 3 \) là một số chính phương, chúng ta cần chứng minh rằng biểu thức trên có thể viết thành \( k^2 \) cho một số nguyên k.

\( 25 \) là \( 5^2 \), do đó chúng ta cần kiểm tra xem biểu thức \( 4 \cdot 10^{2n} - 2 \cdot 10^{n + 1} + 25 \) có thể viết dưới dạng một bình phương hoàn chỉnh hay không.

Chúng ta có thể thử tìm một cách biểu diễn khác hoặc thực hiện kiểm tra cụ thể cho từng trường hợp n; ví dụ với n = 1, n = 2 để tìm mẫu số chung cho \( k \) ứng với n riêng biệt.

Một cách tiếp cận khác có thể là xét rằng:
\[
A - B + 3 = \left(2 \cdot 10^n - 5\right)^2.
\]

Điều này có thể được kiểm tra cho các giá trị của n.

Kết luận: Với các giá trị đúng cho n, giá trị \( A - B + 3 \) có dạng của một số chính phương mà chúng ta đã đưa ra.