Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( \left( \frac{13 - m}{m + 2} \right)^2 \), trước tiên chúng ta cần xét biểu thức bên trong dấu ngoặc.

Đặt \( y = \frac{13 - m}{m + 2} \). Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( y^2 \), chúng ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của \( |y| \).

### Bước 1: Tìm giá trị của \( y \)

Chúng ta có:

\[
y = \frac{13 - m}{m + 2}
\]

Như vậy, để bảo đảm \( m + 2 \neq 0 \) (tức là \( m \neq -2 \)), chúng ta sẽ tìm giá trị của \( y \).

### Bước 2: Tính giá trị nhỏ nhất của \( y \)

Biểu thức \( y \) có dạng phân thức, vì vậy ta sẽ tìm điều kiện để \( y \) đạt giá trị nhỏ nhất. Căn cứ vào phương trình này, ta sẽ thử cách tìm cực trị của \( y \):

#### Viết lại \( y \)

Chúng ta có thể viết lại biểu thức như sau:

\[
y = \frac{13}{m+2} - \frac{m}{m+2}
\]

#### Tìm đạo hàm

Để tìm cực trị, ta tính đạo hàm của \( y \):

\[
\frac{dy}{dm} = \frac{(0)(m+2) - (13 - m)(1)}{(m + 2)^2} = \frac{-13 + m}{(m + 2)^2}
\]

Giải phương trình đạo hàm bằng 0:

\[
-13 + m = 0 \implies m = 13
\]

### Bước 3: Kiểm tra giá trị \( y \) tại \( m = 13 \)

Thay \( m = 13 \) vào \( y \):

\[
y = \frac{13 - 13}{13 + 2} = \frac{0}{15} = 0
\]

### Kiểm tra giá trị nhỏ nhất của \( (y)^2 \)

Do \( y = 0 \) tại \( m = 13 \), nên:

\[
(y)^2 = 0^2 = 0
\]

### Kết luận

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( \left( \frac{13 - m}{m + 2} \right)^2 \) là 0, đạt được khi \( m = 13 \).

Vậy \( m = 13 \) là giá trị mà phương trình đạt giá trị nhỏ nhất.