Để chứng minh rằng \((5n + 7)(4n + 6)\) chia hết cho 2 với mọi \(n \in \mathbb{N}\), ta sẽ xem xét tính chẵn lẻ của các yếu tố trong biểu thức.

**Bước 1: Phân tích các yếu tố**

- \(5n + 7\):
- Khi \(n\) là số chẵn (\(n = 2k\) với \(k \in \mathbb{N}\)):
\(5n + 7 = 5(2k) + 7 = 10k + 7\), kết luận là lẻ (vì 10k chẵn + 7 lẻ = lẻ).
- Khi \(n\) là số lẻ (\(n = 2k + 1\) với \(k \in \mathbb{N}\)):
\(5n + 7 = 5(2k + 1) + 7 = 10k + 5 + 7 = 10k + 12\), kết luận là chẵn (vì 10k chẵn + 12 chẵn = chẵn).

Vậy, \(5n + 7\) là lẻ nếu \(n\) chẵn và chẵn nếu \(n\) lẻ.

- \(4n + 6\):
- \(4n\) luôn chẵn (vì 4 là chẵn).
- \(6\) cũng chẵn.
- Do đó, \(4n + 6 = 4n + 6\) luôn chẵn.

**Bước 2: Tính tích của hai yếu tố**

Từ đó, ta biết rằng:
- Khi \(n\) chẵn, \(5n + 7\) là lẻ và \(4n + 6\) là chẵn.
- Khi \(n\) lẻ, \(5n + 7\) là chẵn và \(4n + 6\) cũng chẵn.

Trong cả hai trường hợp, một trong hai yếu tố là chẵn.

**Kết luận:**

Tích của một số lẻ và một số chẵn (trường hợp \(n\) chẵn) là chẵn, và tích của hai số chẵn (trường hợp \(n\) lẻ) cũng là chẵn. Do đó, \((5n + 7)(4n + 6)\) luôn chẵn, tức là chia hết cho 2 với mọi \(n \in \mathbb{N}\).

Vậy, ta đã chứng minh rằng \((5n + 7)(4n + 6)\) chia hết cho 2 với mọi \(n \in \mathbb{N}\).