Để tìm giá trị nguyên \( x \) sao cho \( 9x^2 + x + 1 \) là số chính phương, ta bắt đầu đặt \( 9x^2 + x + 1 = m^2 \) với \( m \) là một số nguyên. Điều này có nghĩa là:

\[
9x^2 + x + (1 - m^2) = 0
\]

Đây là một phương trình bậc hai theo \( x \). Để phương trình có nghiệm, điều kiện cần là loại delta \( \Delta \) phải lớn hơn hoặc bằng 0.

Tính delta của phương trình trên:

\[
\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 9 \cdot (1 - m^2) = 1 - 36(1 - m^2)
\]

\[
= 1 - 36 + 36m^2 = 36m^2 - 35
\]

Để có nghiệm, ta cần:

\[
36m^2 - 35 \geq 0
\]

Giải bất phương trình này ta được:

\[
36m^2 \geq 35 \implies m^2 \geq \frac{35}{36}
\]

Vì \( m^2 \) là một số chính phương, do đó \( m \) phải là một số nguyên không âm. Ta có thể xét giá trị của \( m \) từ 1 trở lên.

**Tính nghiệm cho từng giá trị của \( m \):**

1. **Khi \( m = 1 \):**

\[
9x^2 + x + 1 = 1^2 \implies 9x^2 + x = 0 \implies x(9x + 1) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = -\frac{1}{9} \text{ (không phải Z)}
\]

2. **Khi \( m = 2 \):**

\[
9x^2 + x + 1 = 2^2 \implies 9x^2 + x - 3 = 0
\]

Tính delta:

\[
\Delta = 1^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-3) = 1 + 108 = 109
\]

Nghiệm là:

\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{109}}{18}
\]

Các nghiệm đều không nguyên.

3. **Khi \( m = 3 \):**

\[
9x^2 + x + 1 = 3^2 \implies 9x^2 + x - 8 = 0
\]

Tính delta:

\[
\Delta = 1^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-8) = 1 + 288 = 289
\]

Nghiệm là:

\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{289}}{18} = \frac{-1 \pm 17}{18}
\]

Nghiệm:

\[
x = \frac{16}{18} = \frac{8}{9} \text{ (không phải Z)}, \quad x = \frac{-18}{18} = -1 \text{ (là Z)}
\]

4. **Khi \( m = 4 \):**

\[
9x^2 + x + 1 = 4^2 \implies 9x^2 + x - 15 = 0
\]

Tính delta:

\[
\Delta = 1^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-15) = 1 + 540 = 541
\]

Nghiệm:

\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{541}}{18}
\]

Các nghiệm đều không nguyên.

Tiếp tục kiểm tra \( m = 5, 6 \ldots \) nhưng cũng không tìm được nghiệm nguyên nữa.

Cuối cùng, ta có nghiệm duy nhất là:

\[
\boxed{-1}
\]

Lưu ý rằng những giá trị khác của \( m \) không mang lại nghiệm \( x \) thuộc tập hợp các số nguyên.