Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của bài toán như sau:

**a)** Để xác định hình dạng của tứ giác \( ABEF \):

- Hình bình hành \( ABCD \) có \( BC = 2AB \) và góc \( A = 60^\circ \).
- Ta biết rằng trong hình bình hành, các cạnh đối diện bằng nhau và góc đối diện cũng bằng nhau.
- Do đó, \( AB = AD \) và \( \angle A = \angle C = 60^\circ \).
- Như vậy, góc \( BAE \) (trong tứ giác \( ABEF \)) cũng bằng \( 60^\circ \), và \( AE = EF \) do \( E \) và \( F \) là trung điểm.
- Từ đó, ta có thể suy ra rằng \( ABEF \) là hình thoi vì hai cạnh liên tiếp của tứ giác này bằng nhau và góc giữa chúng cũng bằng \( 60^\circ \).

**b)** Để chứng minh tứ giác \( AIEF \) là hình thang cân:

- \( AE = EF \) và \( AI \) là đoạn đối xứng với \( A \) qua \( b \).
- Theo định nghĩa của hình thang, \( AIEF \) có hai cạnh song song là \( AI \) và \( EF \).
- Vì \( AI = AB + BI \) và \( EF \) là trung tuyến của hình bình hành, nên \( AIEF \) là hình thang cân.

**c)** Để chứng minh \( BCD \) là hình chữ nhật:

- Trong hình bình hành, chúng ta biết rằng hai cạnh \( BC \) và \( AD \) là song song và có độ dài bằng nhau.
- Đồng thời, góc \( ABC = 120^\circ \) (vì góc \( A = 60^\circ \)), do đó góc \( BCD = 90^\circ \).
- Từ đây, suy ra nổi bật rằng \( BCD \) là hình chữ nhật vì có hai cạnh song song và hai góc vuông.

**d)** Để tính góc \( AED \):

- Trong tứ giác \( AEDF \), ta có \( \angle A + \angle E + \angle D + \angle F = 360^\circ \).
- Với các góc đã biết, ta sẽ tính được góc \( AED \).
- Do đó, \( \angle A = 60^\circ \) và \( \angle D = 120^\circ \), suy ra ta có thể tính \( \angle AED = 360^\circ - (60^\circ + 120^\circ + 90^\circ) \).

Hy vọng những giải thích này giúp bạn củng cố kiến thức và hoàn thành bài toán!