Để tìm giá trị của biến \(x\) để biểu thức đạt giá trị lớn nhất (trong phần a) và giá trị nhỏ nhất (trong phần b), ta sẽ phân tích từng biểu thức.

### a) \( P = \frac{1}{x^2 + 2x + 6} \)

**Bước 1:** Xác định hàm số \(h(x) = x^2 + 2x + 6\).

Đầu tiên, ta nhận thấy rằng \(h(x)\) là một hàm bậc hai có dạng :

\[
h(x) = ax^2 + bx + c \quad (a = 1, b = 2, c = 6)
\]

**Bước 2:** Tìm cực trị của hàm bậc hai

Cực trị của \(h(x)\) xảy ra tại:

\[
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1
\]

**Bước 3:** Tính giá trị của \(h(-1)\):

\[
h(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 6 = 1 - 2 + 6 = 5
\]

**Bước 4:** Kết luận

Vì \(h(x)\) là một Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại \(x = -1\), nên:

\[
P = \frac{1}{h(x)} \quad \text{đạt giá trị lớn nhất khi } h(x) \text{ đạt giá trị nhỏ nhất}.
\]

=> Giá trị lớn nhất của \(P\) là:

\[
P_{\text{max}} = \frac{1}{5}
\]

### b) \( Q = \frac{x^2 - 2x + 1}{x^3 + 2x^2 + x + 1} \)

**Bước 1:** Rút gọn biểu thức \(Q\)

Ta nhận thấy:

\[
x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2
\]
và
\[
x^3 + 2x^2 + x + 1 = (x + 1)(x^2 + 1)
\]

**Bước 2:** Xét hàm số \(Q\)

Để \(Q\) đạt giá trị nhỏ nhất, chúng ta cần xem xét mẫu số của hàm \(Q\) không bằng 0. Hàm số sẽ luôn dương khi \(x^2 + 1 > 0\).

**Bước 3:** Tìm giá trị cạnh

Ta có thể thử một số giá trị của \(x\) để nhìn xem hàm này có thể đạt giá trị nhỏ nhất tại đâu.

**Bước 4:** Kết luận

Hàm \(Q\) này không có giá trị nhỏ nhất trong tập các số thực vì khi \(x \to \infty\), \(Q\) có thể có giá trị gần 0. Tuy nhiên, giới hạn của \(Q\) là giá trị là 0 thực sự không bao giờ đạt được.

Tóm lại:

- \(P\) đạt giá trị lớn nhất với \(x = -1\) và \(P_{\text{max}} = \frac{1}{5}\).
- \(Q\) không có giá trị nhỏ nhất trong tập số thực nhưng gần bằng 0 khi \(x\) đi về phía vô cực.