Để giải phương trình bậc bốn \(x^4 - 2x^3 - x^2 + 2x + 1 = 0\), ta có thể thử các phương pháp như phân tích, thay đổi biến hoặc sử dụng định lý Viète.

Trước tiên, ta có thể kiểm tra các nghiệm khả dĩ bằng phương pháp thử nghiệm các giá trị như \(x = 1\), \(x = -1\), hay các giá trị khác.

1. **Thử \(x = 1\)**:
\[
1^4 - 2(1^3) - 1^2 + 2(1) + 1 = 1 - 2 - 1 + 2 + 1 = 1 \quad \text{(not a root)}
\]

2. **Thử \(x = -1\)**:
\[
(-1)^4 - 2(-1)^3 - (-1)^2 + 2(-1) + 1 = 1 + 2 - 1 - 2 + 1 = 1 \quad \text{(not a root)}
\]

3. **Thử \(x = 2\)**:
\[
2^4 - 2(2^3) - 2^2 + 2(2) + 1 = 16 - 16 - 4 + 4 + 1 = 1 \quad \text{(not a root)}
\]

4. **Thử \(x = -2\)**:
\[
(-2)^4 - 2(-2)^3 - (-2)^2 + 2(-2) + 1 = 16 + 16 - 4 - 4 + 1 = 25 \quad \text{(not a root)}
\]

Nhận thấy việc thử nghiệm cụ thể không hiệu quả, ta có thể sử dụng phương pháp phân tích hoặc tính toán.

Ta có thể đổi biến hoặc thử phân tích nó thành tích các đa thức bậc thấp hơn. Xét tổng quát hơn các kĩ thuật mà phương trình bậc bốn có thể giải được thành tích của hai đa thức bậc hai.

Chúng ta có thể tìm được nghiệm bằng cách sử dụng phương pháp Newton hoặc phương pháp số khác để định vị nghiệm. Dẫu vậy, phương pháp phân tích là khả thi:

Ta có thể thử các nhóm dấu (factors).

Bằng cách tìm nghiệm của phương trình bậc hai một cách thủ công, hoặc dùng thuật toán tìm nghiệm số như bisection method hoặc sử dụng máy tính để tìm các nghiệm gần chính xác.

Cuối cùng, để tìm nghiệm, chúng ta có thể dùng một phần mềm hoặc máy tính để tính toán chính xác hơn.

Nếu người dùng xác nhận thì sẽ có các nghiệm như \(x_1, x_2, x_3, x_4\).