Để chứng minh bất đẳng thức \( (a + b + c)^2 \geq 3(ab + bc + ca) \), ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

### Bước 1: Sử dụng định lý Cauchy-Schwarz

Theo định lý Cauchy-Schwarz, ta có:

\[
(a + b + c)^2 = (1 \cdot a + 1 \cdot b + 1 \cdot c)^2 \leq (1^2 + 1^2 + 1^2)(a^2 + b^2 + c^2) = 3(a^2 + b^2 + c^2)
\]

### Bước 2: So sánh với \(3(ab + ac + bc)\)

Ta cần chứng minh rằng \( (a + b + c)^2 \geq 3(ab + ac + bc) \). Để làm điều này, ta cũng có thể dùng công thức tổng quát:

\[
(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc)
\]

### Bước 3: Sắp xếp lại bất đẳng thức

Chúng ta cần chứng minh:

\[
a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) \geq 3(ab + ac + bc)
\]

Sắp xếp lại, ta có:

\[
a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + ac + bc
\]

### Bước 4: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM

Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:

\[
\frac{a^2 + b^2}{2} \geq ab
\]
\[
\frac{b^2 + c^2}{2} \geq bc
\]
\[
\frac{c^2 + a^2}{2} \geq ca
\]

Cộng ba bất đẳng thức trên lại, ta được:

\[
\frac{a^2 + b^2 + b^2 + c^2 + c^2 + a^2}{2} \geq ab + ac + bc
\]

Hay:

\[
a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + ac + bc
\]

### Kết luận

Vì vậy, ta đã chứng minh được rằng:

\[
(a + b + c)^2 \geq 3(ab + ac + bc)
\]

Vì vậy, bất đẳng thức đã được chứng minh. ✨