Để chứng minh tứ giác MNCD là hình thang cân, ta thực hiện các bước như sau:

1. **Đặt các điểm và kích thước**:
- Gọi chiều dài của cạnh AB là \( a \) và chiều cao của hình chữ nhật ABCD là \( h \). Thì ta có \( AB = a \) và \( CD = a \).
- Gọi \( AM = x \) và \( NB = y \) với \( x = y < \frac{1}{2} a \).
- Do đó, ta có:
\[
MB = a - x \quad \text{và} \quad AN = a - y
\]

2. **Lập tọa độ cho các điểm**:
- Giả sử điểm A tại \( (0, 0) \), B tại \( (a, 0) \), C tại \( (a, h) \), D tại \( (0, h) \).
- Tọa độ của M và N sẽ lần lượt là:
\[
M(0 + x, 0) = (x, 0) \quad \text{và} \quad N(a - y, 0)
\]

3. **Xác định độ dài các cạnh MN**:
- Tính độ dài MN:
\[
MN = |x - (a - y)| = |x + y - a|
\]

4. **Xác định các cạnh còn lại**:
- Độ dài của các cạnh CD là \( a \) và chiều cao (CD và MN) bằng \( h \).

5. **Chứng minh hình thang**:
- Ta cần chứng minh rằng MN // CD, tức là MN vuông góc với CD với h (bởi vì MN và CD đều nằm trên một đường thẳng ngang).

6. **Chứng minh tính cân**:
- Để chứng minh MNCD là hình thang cân, ta cần chứng minh \( |x| = |y| \):
\[
MN = |x + y - a| \text{ và } CD = a
\]

7. **Kết luận**:
- Tứ giác MNCD có hai cạnh đối diện (MN và CD) song song và độ dài của chúng bằng nhau, do đó tứ giác MNCD là hình thang cân.

Vậy tứ giác MNCD là hình thang cân.