Dưới đây là các rút gọn cho từng biểu thức đã cho:

a. \( \frac{2}{a \sqrt{164 \times 2}} \) trên \( 9 (a < 0) \):

Trước tiên, tính giá trị trong căn:
\( \sqrt{164 \times 2} = \sqrt{328} = \sqrt{4 \times 82} = 2\sqrt{82} \).

Vậy biểu thức có thể viết lại là:
\[
\frac{2}{2a\sqrt{82}} = \frac{1}{a\sqrt{82}}.
\]
Vì \( a < 0 \), có thể giữ nguyên.

---

b. \( \frac{3}{a - 1} \cdot \frac{\sqrt{4a^2 - 8a + 4}}{25} \) trên \( (a > 1) \):

Biểu thức trong căn có thể viết thành:
\[
\sqrt{4a^2 - 8a + 4} = \sqrt{(2a - 2)^2} = 2a - 2.
\]

Vậy biểu thức trở thành:
\[
\frac{3 \cdot (2a - 2)}{25(a - 1)} = \frac{6(a - 1)}{25(a - 1)}.
\]

Vì \( a > 1 \), ta có thể rút gọn \( (a - 1) \):
\[
\frac{6}{25}.
\]

---

c. \( \frac{2y}{x} \cdot \frac{\sqrt{x^2}}{4y^4} \) (với \( y \neq 0 \)):

Ta biết rằng \( \sqrt{x^2} = |x| \).
Vì không có điều kiện về phép rút gọn cho \( x \), biểu thức sẽ trở thành:
\[
\frac{2y |x|}{4y^4 x} = \frac{2 |x|}{4y^3} = \frac{|x|}{2y^3}.
\]

---

d. \( (x-y) \cdot \frac{\sqrt{36}}{x^2 - 2xy + y^2} \) (với \( x \neq y \)):

Ta biết rằng \( \sqrt{36} = 6 \) và \( x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2 \).

Vậy biểu thức trở thành:
\[
(x-y) \cdot \frac{6}{(x-y)^2} = \frac{6}{x - y}.
\]

---

e. \( \frac{\sqrt{243a}}{\sqrt{3a}} \) (với \( a > 0 \)):

Biểu thức có thể viết lại thành:
\[
\sqrt{\frac{243a}{3a}} = \sqrt{81} = 9.
\]

---

f. \( 3 \cdot \frac{\sqrt{18a^2 b^4}}{\sqrt{2a^2 b^2}} \) (với \( a \neq 0, b \neq 0 \)):

Căn có thể rút gọn:
\[
\frac{\sqrt{18} \cdot a \cdot b^2}{\sqrt{2} \cdot a} = \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} \cdot b^2.
\]
Vì \( \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \):
\[
\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \cdot b^2 = 3b^2.
\]

Vậy kết quả cuối cùng các rút gọn là:

a: \( \frac{1}{a \sqrt{82}} \)
b: \( \frac{6}{25} \)
c: \( \frac{|x|}{2y^3} \)
d: \( \frac{6}{x - y} \)
e: \( 9 \)
f: \( 9b^2 \)