Để tìm số tự nhiên có hai chữ số thoả mãn các điều kiện trong bài toán, ta gọi số đó là \( 10a + b \), trong đó \( a \) là chữ số hàng chục và \( b \) là chữ số hàng đơn vị.

1. **Điều kiện 1**: Chữ số hàng đơn vị hơn hai lần chữ số hàng chục là 1, tức là:
\[
b = 2a + 1
\]

2. **Điều kiện 2**: Khi thêm chữ số 1 vào bên trái và chữ số 0 vào bên phải, số mới sẽ là:
\[
100 + 10a + b + 0 = 100 + 10a + b
\]
Số này lớn hơn số ban đầu \( 10a + b \) là 50 lần, tức là:
\[
100 + 10a + b = 50(10a + b)
\]

Giải phương trình này:
\[
100 + 10a + b = 500a + 50b
\]
\[
100 = 500a - 10a + 50b - b
\]
\[
100 = 490a + 49b
\]

Chia cả hai vế cho 7 để đơn giản hóa:
\[
14 = 70a + 7b
\]
\[
2 = 10a + b
\]

3. **Hệ phương trình**:
- \( b = 2a + 1 \)
- \( 2 = 10a + b \)

Thay \( b \) từ phương trình 1 vào phương trình 2:
\[
2 = 10a + (2a + 1)
\]
\[
2 = 10a + 2a + 1
\]
\[
2 = 12a + 1
\]
\[
1 = 12a
\]
\[
a = \frac{1}{12}
\]

Kiểm tra các giá trị nguyên cho \( a \) (từ 1 đến 9):
- \( a = 1 \): \( b = 2(1) + 1 = 3 \), số là 13
- \( a = 2 \): \( b = 2(2) + 1 = 5 \), số là 25
- \( a = 3 \): \( b = 2(3) + 1 = 7 \), số là 37
- \( a = 4 \): \( b = 2(4) + 1 = 9 \), số là 49
- \( a > 4 \): Không còn các chữ số hàng đơn vị từ 0-9 nữa.

**Kiểm tra các số:**
- Số 13: \( 1 > 2(1) + 1\): Không phù hợp.
- Số 25: \( b = 5 = 2(2) + 1 \): Đúng.
- Số 37: \( b = 7 = 2(3) + 1\): Đúng.
- Số 49: \( b = 9 = 2(4) + 1\): Đúng.

Cuối cùng, ta có:
- Số phù hợp là **25, 37, 49**.