Để chứng minh \( Ax \parallel Cy \), ta sử dụng tính chất của góc so le trong khi \( AO \parallel BD \).

### Bước 1: Chứng minh \( Ax \parallel Cy \)

1. **Góc so le**: Ta có hai góc \( \angle AOB = 41^\circ \) và \( \angle COD = 30^\circ \).
2. **Áp dụng tính chất**: Vì \( AO \parallel BD \) nên \( \angle AOB \) và \( \angle COD \) là các góc so le trong.
3. **Tính toán**:
\[
41^\circ + 30^\circ + 71^\circ = 180^\circ \quad (góc nội tiếp trên cùng một đường thẳng)
\]
=> Do đó, \( \angle AOB + \angle COD = 180^\circ \).

4. Từ đó, suy ra \( Ax \parallel Cy \).

### Bước 2: Tính \( \angle BDC \)

Sử dụng định lý tổng của ba góc trong tam giác:
1. Tam giác \( BOC \):
\[
\angle BOC + \angle AOB + \angle BDC = 180^\circ
\]
\( \angle BOC = 71^\circ \), \( \angle AOB = 41^\circ \).

2. Tính \( \angle BDC \):
\[
\angle BDC = 180^\circ - (\angle BOC + \angle AOB) = 180^\circ - (71^\circ + 41^\circ) = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ
\]

### Kết luận
- Chứng minh \( Ax \parallel Cy \) là đúng.
- Kết quả \( \angle BDC = 68^\circ \).