Để chứng minh các đẳng thức trong bài toán này, chúng ta sẽ làm từng phần một.

### a) Chứng minh đẳng thức:
\[
\sqrt{9 - \sqrt{17}} \cdot \sqrt{9 + \sqrt{17}} = 8
\]

**Bước 1**: Tính tích.

Áp dụng công thức:
\[
a \cdot b = \sqrt{(9 - \sqrt{17})(9 + \sqrt{17})} = \sqrt{9^2 - (\sqrt{17})^2} = \sqrt{81 - 17} = \sqrt{64} = 8
\]

Vậy đẳng thức đã chứng minh đúng.

### b) Chứng minh đẳng thức:
\[
\left( \frac{1}{5 - 2\sqrt{6}} + \frac{2}{5 + 2\sqrt{6}} \right)(15 + 2\sqrt{6}) = 201
\]

**Bước 1**: Rút gọn từng phân thức.

- Tìm mẫu số chung cho hai phân thức:
\[
\frac{1(5 + 2\sqrt{6}) + 2(5 - 2\sqrt{6})}{(5 - 2\sqrt{6})(5 + 2\sqrt{6})}
\]
- Tính tử số:
\[
(5 + 2\sqrt{6}) + (10 - 4\sqrt{6}) = 15 - 2\sqrt{6}
\]
- Tính mẫu số:
\[
(5 - 2\sqrt{6})(5 + 2\sqrt{6}) = 25 - 24 = 1
\]
Vậy:
\[
\frac{15 - 2\sqrt{6}}{1} = 15 - 2\sqrt{6}
\]

**Bước 2**: Tính tích:
\[
(15 - 2\sqrt{6})(15 + 2\sqrt{6}) = 15^2 - (2\sqrt{6})^2 = 225 - 24 = 201
\]

Vậy đẳng thức cũng đã chứng minh đúng.

### Kết luận:
Cả hai đẳng thức đã được chứng minh đúng.