Cho a, b, c dương thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng a^2+bc/b+ac+b^2+ac/c+ab+c^2+ab/a+bc

Để chứng minh bất đẳng thức sau cho \( a, b, c > 0 \) và thỏa mãn \( a + b + c = 3 \):

\[
\frac{a^2 + bc}{b} + \frac{b^2 + ac}{c} + \frac{c^2 + ab}{a} \geq 3
\]

Chúng ta sẽ sử dụng bất đẳng thức AM-GM và điều kiện \( a + b + c = 3 \) để giải quyết bài toán này.

### Bước 1: Phân tích các thành phần

Xét từng thành phần trong biểu thức:

\[
\frac{a^2 + bc}{b} = \frac{a^2}{b} + c
\]

Tương tự, ta có:

\[
\frac{b^2 + ac}{c} = \frac{b^2}{c} + a,
\]
\[
\frac{c^2 + ab}{a} = \frac{c^2}{a} + b.
\]

### Bước 2: Kết hợp các thành phần
Sử dụng các thành phần trên, ta có:

\[
\frac{a^2 + bc}{b} + \frac{b^2 + ac}{c} + \frac{c^2 + ab}{a} = \left( \frac{a^2}{b} + c \right) + \left( \frac{b^2}{c} + a \right) + \left( \frac{c^2}{a} + b \right) = \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} + (a + b + c).
\]

Vì \( a + b + c = 3 \), ta có:

\[
\frac{a^2 + bc}{b} + \frac{b^2 + ac}{c} + \frac{c^2 + ab}{a} = \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} + 3.
\]

### Bước 3: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương \( \frac{a^2}{b}, \frac{b^2}{c}, \frac{c^2}{a} \):

\[
\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{a^2}{b} \cdot \frac{b^2}{c} \cdot \frac{c^2}{a}} = 3 \sqrt[3]{\frac{a^2 b^2 c^2}{abc}} = 3 \sqrt[3]{abc}.
\]

### Bước 4: Sử dụng trọng số \( a + b + c = 3 \)
Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:

\[
abc \leq \left(\frac{a + b + c}{3}\right)^3 = 1.
\]

Vậy:

\[
\sqrt[3]{abc} \leq 1 \implies 3 \sqrt[3]{abc} \leq 3.
\]

### Kết luận
Do đó, từ các bất đẳng thức đã sử dụng, ta có:

\[
\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq 3 \implies \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} + 3 \geq 6.
\]

Cuối cùng, suy ra:

\[
\frac{a^2 + bc}{b} + \frac{b^2 + ac}{c} + \frac{c^2 + ab}{a} \geq 6.
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được bất đẳng thức:

\[
\frac{a^2 + bc}{b} + \frac{b^2 + ac}{c} + \frac{c^2 + ab}{a} \geq 6.
\]

Kết luận: Với \( a, b, c \) dương và \( a + b + c = 3 \), bất đẳng thức trên được chứng minh.