Để tìm các số thực \(a\) và \(b\) thỏa mãn \(a + b = 2\) và \(ab = -1\), chúng ta có thể sử dụng phương trình bậc hai.

Ta có:

\[
x^2 - (a + b)x + ab = 0
\]

Thay vào đó:

\[
x^2 - 2x - 1 = 0
\]

Giải phương trình này bằng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}
\]

Vậy \(a = 1 + \sqrt{2}\) và \(b = 1 - \sqrt{2}\) (hoặc ngược lại).

Tiếp theo, chúng ta sẽ tính các giá trị của \(a^2 + b^2\), \(a^3 + b^3\), \(a^4 + b^4\), \(a^5 + b^5\), và \(a^7 + b^7\).

**1. Tính \(a^2 + b^2\)**:

\[
a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 2^2 - 2(-1) = 4 + 2 = 6
\]

**2. Tính \(a^3 + b^3\)**:

\[
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 + b^2 - ab) = 2(6 + 1) = 2 \cdot 7 = 14
\]

**3. Tính \(a^4 + b^4\)**:

\[
a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2(ab)^2 = 6^2 - 2(-1)^2 = 36 - 2 = 34
\]

**4. Tính \(a^5 + b^5\)**:

\[
a^5 + b^5 = (a + b)(a^4 + b^4) - ab(a^3 + b^3)
\]

\[
= 2 \cdot 34 - (-1) \cdot 14 = 68 + 14 = 82
\]

**5. Tính \(a^6 + b^6\)** (để tính \(a^7 + b^7\)):

\[
a^6 + b^6 = (a^2 + b^2)(a^4 + b^4) - (ab)(a^3 + b^3)
\]
\[
= 6 \cdot 34 - (-1) \cdot 14 = 204 + 14 = 218
\]

**6. Tính \(a^7 + b^7\)**:

\[
a^7 + b^7 = (a + b)(a^6 + b^6) - ab(a^5 + b^5)
\]
\[
= 2 \cdot 218 - (-1) \cdot 82 = 436 + 82 = 518
\]

Vậy, các giá trị cần tìm là:

- \(a^2 + b^2 = 6\)
- \(a^3 + b^3 = 14\)
- \(a^4 + b^4 = 34\)
- \(a^5 + b^5 = 82\)
- \(a^7 + b^7 = 518\)