Để giải phương trình \( \sqrt{(5x + 1)^2} = \frac{6}{7} \), ta sẽ thực hiện các bước như sau:

1. Nhận thấy rằng \( \sqrt{(5x + 1)^2} = |5x + 1| \). Vậy phương trình trở thành:

\[
|5x + 1| = \frac{6}{7}
\]

2. Phương trình giá trị tuyệt đối có hai trường hợp:

- Trường hợp 1: \( 5x + 1 = \frac{6}{7} \)
- Trường hợp 2: \( 5x + 1 = -\frac{6}{7} \)

3. Giải từng trường hợp:

**Trường hợp 1**:

\[
5x + 1 = \frac{6}{7}
\]
\[
5x = \frac{6}{7} - 1 = \frac{6}{7} - \frac{7}{7} = -\frac{1}{7}
\]
\[
x = -\frac{1}{35}
\]

**Trường hợp 2**:

\[
5x + 1 = -\frac{6}{7}
\]
\[
5x = -\frac{6}{7} - 1 = -\frac{6}{7} - \frac{7}{7} = -\frac{13}{7}
\]
\[
x = -\frac{13}{35}
\]

4. Tổng hợp kết quả:

Các giá trị của \( x \) thỏa mãn phương trình là:

\[
x = -\frac{1}{35} \quad \text{và} \quad x = -\frac{13}{35}
\]

Vậy \( x \) có hai nghiệm là \( -\frac{1}{35} \) và \( -\frac{13}{35} \).