Để giải phương trình \( 2^{2n-1} + 4^n + 2 = 264 \), trước tiên ta có thể biến đổi một số biểu thức.

Nhận thấy rằng \( 4^n = (2^2)^n = 2^{2n} \), ta có thể viết lại phương trình như sau:

\[
2^{2n-1} + 2^{2n} + 2 = 264
\]

Bây giờ, ta thay \( x = 2^{2n-1} \). Khi đó, \( 2^{2n} = 2 \cdot 2^{2n-1} = 2x \). Thay vào phương trình, ta có:

\[
x + 2x + 2 = 264
\]

Từ đây, phương trình trở thành:

\[
3x + 2 = 264
\]

Tiến hành giải phương trình này:

\[
3x = 264 - 2
\]
\[
3x = 262
\]
\[
x = \frac{262}{3} \approx 87.33
\]

Giá trị này không phải là một số tự nhiên. Vì vậy, chúng ta cần thử các số nguyên không âm cho \( n \) để tìm giá trị mà có thể thỏa mãn phương trình ban đầu.

Ta thử các giá trị nhỏ của \( n \):

- Với \( n = 1 \):
\[
2^{2 \cdot 1 - 1} + 4^1 + 2 = 2^1 + 4 + 2 = 2 + 4 + 2 = 8 \quad (\text{không thỏa mãn})
\]

- Với \( n = 2 \):
\[
2^{2 \cdot 2 - 1} + 4^2 + 2 = 2^3 + 16 + 2 = 8 + 16 + 2 = 26 \quad (\text{không thỏa mãn})
\]

- Với \( n = 3 \):
\[
2^{2 \cdot 3 - 1} + 4^3 + 2 = 2^5 + 64 + 2 = 32 + 64 + 2 = 98 \quad (\text{không thỏa mãn})
\]

- Với \( n = 4 \):
\[
2^{2 \cdot 4 - 1} + 4^4 + 2 = 2^7 + 256 + 2 = 128 + 256 + 2 = 386 \quad (\text{không thỏa mãn})
\]

- Với \( n = 5 \):
\[
2^{2 \cdot 5 - 1} + 4^5 + 2 = 2^9 + 1024 + 2 = 512 + 1024 + 2 = 1538 \quad (\text{không thỏa mãn})
\]

Có lẽ khi \( n = 3 \) đã gần mức kết quả, nên ta cần kiểm tra lại.

Theo đó, từ \( n = 3 \), thử nghiệm cuối cùng với các khả năng gần hơn:

Sau khi thử các giá trị nhỏ và không tìm được giá trị nào hợp lệ, không thể giải được mà không có được cái giá trị cụ thể cho phương trình nên không thể tìm \( n \) là số tự nhiên.

Nếu như có cách phát hiện các trường hợp thỏa mãn cụ thể thì đừng cần biến đổi nhiều. Đi tìm ra trường hợp chính xác là một trong những cách thức tốt hơn.

Bạn có thể kiểm tra lại những bước hoặc cách giải của mình để đảm bảo chính xác.