Để chứng minh rằng \(\triangle ABD = \triangle AED\) và \(DE \perp AE\), ta sẽ theo dõi các yếu tố đã cho:

1. **Thông tin đã cho**:
- \(\angle ABC = 80^\circ\)
- \(AD\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên đường thẳng \(BC\), tức là \(AD \perp BC\).
- \(E\) là điểm thuộc trên \(AC\) sao cho \(AB = AE\).

2. **Chứng minh \(\triangle ABD = \triangle AED\)**:
- Ta có \(AB = AE\) (theo giả thiết).
- \(\angle ADB = \angle ADE = 90^\circ\) (do \(AD\) là hình chiếu vuông góc).
- \(AD\) là cạnh chung trong hai tam giác.

Vậy, theo tiêu chí cạnh-cạnh-cạnh (CC) hoặc cạnh-góc-cạnh (CGC), ta có:

\[
\triangle ABD \cong \triangle AED
\]

3. **Chứng minh \(DE \perp AE\)**:
- Vì \(\triangle ABD \cong \triangle AED\), ta có \(\angle ADB = \angle ADE = 90^\circ\).

Vì vậy có thể khẳng định rằng \(DE \perp AE\).

Tóm lại, ta đã chứng minh được rằng \(\triangle ABD = \triangle AED\) và \(DE \perp AE\).