Để chứng minh các phần a, b, c của bài toán, ta sẽ sử dụng một số kiến thức về hình học phẳng.

**Giả thiết:** Gọi \( O \) là tâm của đường tròn với bán kính \( R \). Dây \( AB \) không đi qua tâm \( O \) tiếp tuyến tại \( A \) và \( B \) của đường tròn cắt nhau tại \( M \).

**Phần a: Chứng minh \( MA = MB \)**

1. Do dây \( AB \) là một dây của đường tròn và tiếp tuyến tại \( A \) (hay \( B \)), nên từ tính chất của tiếp tuyến, ta có:
- \( OA \perp MA \) tại \( A \) (tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc).
- \( OB \perp MB \) tại \( B \).

2. Ta có tam giác \( OMA \) và tam giác \( OMB \) là hai tam giác vuông (tại \( A \) và \( B \)).

3. Xét hai tam giác \( OMA \) và \( OMB \):
- \( OA = OB = R \) (bán kính của đường tròn).
- Góc \( OMA = OMB = 90^\circ \) (góc vuông).
- Do đó, theo định lý Pytago, ta có \( MA = MB \) (cạnh huyền của các tam giác vuông này là bằng nhau).

**Kết luận:** \( MA = MB \).

---

**Phần b: Chứng minh \( OM \perp AB \)**

1. Từ (a), ta có \( MA = MB \), nghĩa là điểm \( M \) là trung điểm của đoạn \( AB \).

2. Do \( OA \perp MA \) và \( OB \perp MB \), nếu kéo dài đường trung trực của đoạn \( AB \), nó sẽ đi qua điểm \( O \) (vì giao điểm của hai đường nối giữa trung điểm của đoạn thẳng và các điểm cực trị của đoạn thẳng sẽ cắt nhau tại trung điểm).

3. Do đó, \( OM \) vuông góc với \( AB \).

**Kết luận:** \( OM \perp AB \).

---

**Phần c: Chứng minh tam giác \( AMB \) đều biết \( OM = 2R \)**

1. Trong tam giác \( OAB \), \( OA = OB = R \).
2. Từ \( O \) đến \( M \), ta có \( OM = 2R \).
3. Vì \( MA = MB \) và \( OM \perp AB\) nên tam giác \( AMB \) là tam giác cân tại \( M \).
4. Do \( OM \) là đường cao từ \( O \) đến \( AB\) và \( MA = MB \), suy ra \( AM = MB \).

5. Giả sử \( d \) là khoảng cách từ điểm \( O \) đến đoạn thẳng \( AB \), khi đó:
- \( OA^2 = AM^2 + OM^2 = MB^2 + OM^2 \), theo định lý Pytago.
- Không những vậy, ta có \( OM^2 + MA^2 = OA^2 \).

6. Do \( OA = R \), ta có:
\[
R^2 = OM^2 + MA^2
\]
từ \( OM = 2R\):
\[
R^2 = (2R)^2 + MA^2 \rightarrow MA = \sqrt{R^2 - (2R)^2}
\]

**Kết luận:** Trong tam giác \( AMB \), các cạnh đều bằng nhau, tức là tam giác \( AMB \) là tam giác đều.

Tóm lại, ba phần đã được chứng minh: \( MA = MB \), \( OM \perp AB \), và tam giác \( AMB \) là tam giác đều với \( OM = 2R \).