Để chứng minh \( \frac{c}{d} < \frac{a+c}{b+d} < \frac{a}{b} \) khi biết \( \frac{a}{b} > \frac{c}{d} \) với \( b, d \in \mathbb{N}^* \) và \( a, c \in \mathbb{Z} \), ta sẽ tiến hành các bước sau:

### Bước 1: Chứng minh \( \frac{c}{d} < \frac{a+c}{b+d} \)

Ta có:

\[
\frac{c}{d} < \frac{a}{b} \implies \frac{c}{d} < \frac{a}{b} \implies c \cdot b < a \cdot d
\]

Đặt \( x = a + c \) và \( y = b + d \). Ta cần chứng minh \( \frac{c}{d} < \frac{x}{y} \):

\[
\frac{c}{d} < \frac{x}{y} \iff c \cdot y < x \cdot d
\]
\[
\iff c(b + d) < (a + c)d
\]
\[
\iff cb + cd < ad + cd
\]
\[
\iff cb < ad
\]

Vì \( c \cdot b < a \cdot d \) đã được chứng minh, nên \( \frac{c}{d} < \frac{a+c}{b+d} \) là đúng.

### Bước 2: Chứng minh \( \frac{a+c}{b+d} < \frac{a}{b} \)

Tiếp tục xét:

\[
\frac{a+c}{b+d} < \frac{a}{b} \implies (a+c)b < a(b+d)
\]
\[
\implies ab + cb < ab + ad
\]
\[
\implies cb < ad
\]

Điều này cũng đã được chứng minh ở trên rằng \( cb < ad \) từ giả thiết ban đầu \( \frac{a}{b} > \frac{c}{d} \).

### Kết luận

Như vậy, ta đã chứng minh được cả hai bất đẳng thức:

\[
\frac{c}{d} < \frac{a+c}{b+d} < \frac{a}{b}
\]

Do đó, ta có:

\[
\frac{c}{d} < \frac{a+c}{b+d} < \frac{a}{b}
\]

Điều này hoàn tất lời chứng minh.