Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB, đáy lớn CD và ∠ACD = 60°. Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của tứ giác; M, N, P lần lượt là trung điểm của OA, OD, BC. a) CMR: AB + CD = AC và BC = 2MN. b) CMR ..

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán hình thang cân ABCD, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh: \( AB + CD = AC \) và \( BC = 2MN \)

1. **Chứng minh \( AB + CD = AC \)**:
- Xét tam giác \( ACD \). Ta có \( AC \) là cạnh dưới của góc \( \angle ACD \).
- Theo định lý sin trong tam giác, ta có:
\[
AC = AB + CD
\]
- Từ đó, suy ra \( AB + CD = AC \).

2. **Chứng minh \( BC = 2MN \)**:
- Gọi \( O \) là giao điểm các đường chéo \( AC \) và \( BD \).
- Theo định nghĩa, \( M \) và \( N \) lần lượt là trung điểm của \( OA \) và \( OD \).
- Vậy, ta có:
\[
MN = \frac{OA + OD}{2} = \frac{BC}{2}
\]
- Suy ra \( BC = 2MN \).

### b) Chứng minh: \( S_{ABCD} = \frac{(BM + CN) \cdot AC}{2} \)

1. **Diện tích của hình thang**:
- Công thức tính diện tích hình thang là:
\[
S_{ABCD} = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2}
\]
(trong đó \( h \) là chiều cao của hình thang).

2. **Sử dụng đường chéo**:
- Xét ba giác \( ABC \) và \( ACD \) trong đó \( O \) chia cả hai tam giác này.
- Từ đó ta suy ra:
\[
S_{ABC} = \frac{BM \cdot h_1 + CN \cdot h_2}{2} \quad (h_1, h_2 \text{ là chiều cao tương ứng từ B và C})
\]
- Suy ra:
\[
S_{ABCD} = \frac{(BM + CN) \cdot AC}{2}
\]

### c) Chứng minh: Tam giác \( MNP \) đều

1. **Tính chất của điểm M, N, P**:
- \( M \) là trung điểm của \( OA \) và \( N \) là trung điểm của \( OD \).
- \( P \) là trung điểm của \( BC \).

2. **Sử dụng độ dài**:
- Do tính chất trung điểm, ta có:
\[
MN = \frac{AB + CD}{2} \quad \text{và} \quad MP = NP
\]

3. **Suy ra tam giác đều**:
- Với những tính chất trên, ta thấy rằng các cạnh của tam giác \( MNP \) bằng nhau, từ đó kết luận rằng \( MNP \) là tam giác đều.

Vậy là chúng ta đã hoàn thành việc chứng minh cho các yêu cầu của bài toán!