Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành từng phần một.

### a. Tính chu kỳ và tần số dao động của vật. Viết phương trình dao động.

**Bước 1: Tính biên độ A**

Với quy đạo dài 40 cm, ta có:

\[ A = \frac{40}{2} = 20 \text{ cm} \]

**Bước 2: Tính chu kỳ T và tần số f**

Sử dụng công thức vận tốc trong dao động điều hòa:

\[ v = \omega \sqrt{A^2 - x^2} \]

Trong đó:
- \( v = 20\pi\sqrt{3} \) cm/s
- \( A = 20 \) cm
- \( x = 10 \) cm

Thay vào công thức:

\[ 20\pi\sqrt{3} = \omega \sqrt{20^2 - 10^2} \]

Tính \( 20^2 - 10^2 = 400 - 100 = 300 \):

\[ 20\pi\sqrt{3} = \omega \sqrt{300} \]

\[ \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \]

Vậy ta có:

\[ 20\pi\sqrt{3} = \omega \cdot 10\sqrt{3} \]

Chia cả hai vế cho \( \sqrt{3} \):

\[ 20\pi = 10\omega \]

Suy ra:

\[ \omega = 2\pi \]

Từ \( \omega \), ta tính được chu kỳ \( T \) và tần số \( f \):

\[
T = \frac{2\pi}{\omega} = 1 \text{ s}
\]

\[
f = \frac{1}{T} = 1 \text{ Hz}
\]

**Phương trình dao động:**

Phương trình dao động có dạng:

\[
x(t) = A \cos(\omega t + \phi)
\]

Ở đây, chọn \( \phi = 0 \) (khởi đầu từ biên), ta có:

\[
x(t) = 20 \cos(2\pi t) \text{ cm}
\]

### b. Viết phương trình gia tốc và vận tốc

**Phương trình vận tốc:**

\[
v(t) = -A \omega \sin(\omega t + \phi)
\]

Thay vào các giá trị đã biết:

\[
v(t) = -20 \cdot 2\pi \sin(2\pi t) = -40\pi \sin(2\pi t) \text{ cm/s}
\]

**Phương trình gia tốc:**

\[
a(t) = -A \omega^2 \cos(\omega t + \phi)
\]

Thay vào:

\[
a(t) = -20 \cdot (2\pi)^2 \cos(2\pi t) = -80\pi^2 \cos(2\pi t) \text{ cm/s}^2
\]

### c. Tính tốc độ cực đại và gia tốc cực đại

**Tốc độ cực đại \( v_{max} \):**

\[
v_{max} = A\omega = 20 \cdot 2\pi = 40\pi \text{ cm/s}
\]

**Gia tốc cực đại \( a_{max} \):**

\[
a_{max} = A\omega^2 = 20 \cdot (2\pi)^2 = 80\pi^2 \text{ cm/s}^2
\]

### Tóm tắt kết quả
- **Chu kỳ T:** 1 s
- **Tần số f:** 1 Hz
- **Phương trình dao động:** \( x(t) = 20 \cos(2\pi t) \) cm
- **Phương trình vận tốc:** \( v(t) = -40\pi \sin(2\pi t) \) cm/s
- **Phương trình gia tốc:** \( a(t) = -80\pi^2 \cos(2\pi t) \) cm/s²
- **Tốc độ cực đại:** \( 40\pi \) cm/s
- **Gia tốc cực đại:** \( 80\pi^2 \) cm/s²