Để tính quãng đường đi được từ thời điểm ban đầu đến \( t = \frac{43}{12} \) s, ta tiến hành các bước như sau:

1. **Phân tích phương trình dao động**:
- Phương trình dao động là \( x = 4\cos(4\pi t + \frac{\pi}{3}) \).
- Vật dao động có biên độ \( A = 4 \) cm.

2. **Tính chu kỳ dao động**:
- Tần số \( f = \frac{1}{T} = \frac{4\pi}{2\pi} = 2 \) Hz.
- Chu kỳ \( T = \frac{1}{f} = \frac{1}{2} = 0.5 \) s.

3. **Tính số chu kỳ trong khoảng thời gian \( t = \frac{43}{12} \) s**:
- Thời gian \( t \) = \( \frac{43}{12} \) s.
- Số chu kỳ \( n = \frac{t}{T} = \frac{43/12}{0.5} = \frac{43}{6} \).

4. **Tính quãng đường đi được**:
- Mỗi chu kỳ vật đi một quãng đường là \( 4A = 4 \times 4 = 16 \) cm.
- Quãng đường cho \( n \) chu kỳ là \( n \times 16 \) cm.
- \( n = 7 \): tính phần nguyên cho số chu kỳ là \( n = 7 \).
- Quãng đường đi được trong 7 chu kỳ là \( 7 \times 16 = 112 \) cm.

5. **Tính quãng đường từ chu kỳ tiếp theo**:
- Tính thời gian sau \( 7T = 3.5 \) s.
- Tính quãng đường từ \( t = 3.5 \) s đến \( t = \frac{43}{12} \) s:
- \( t = \frac{43}{12} - 3.5 = \frac{43}{12} - \frac{21}{6} = \frac{43}{12} - \frac{42}{12} = \frac{1}{12} \) s.

6. **Tính vị trí tại \( t = 3.5 \) s** và \( t = \frac{43}{12} \) s:
- \( x(3.5) = 4 \cos\left(4\pi (3.5) + \frac{\pi}{3}\right) = 4 \cos\left(14\pi + \frac{\pi}{3}\right) = 4 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 \) cm.
- \( x\left(\frac{43}{12}\right) = 4 \cos\left(4\pi\frac{43}{12} + \frac{\pi}{3}\right) = 4 \cos\left(\frac{43\pi}{3} + \frac{\pi}{3}\right) = 4 \cos\left(\frac{44\pi}{3}\right) = 4 \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 4 \cdot (-\frac{1}{2}) = -2 \) cm.

7. **Quãng đường giữa các vị trí**:
- Khoảng từ \( x(3.5) = 2 \) cm đến \( x\left(\frac{43}{12}\right) = -2 \) cm là \( 2 + 2 = 4 \) cm.

8. **Tổng quãng đường**:
- Quá đường tổng là \( 112 + 4 = 116 \) cm.

Vậy quãng đường vật đi được là **116 cm**.