Để tính diện tích các tam giác BNC, ABC, ANM, ABM, và BMN, ta có thể áp dụng một số kiến thức cơ bản về tỷ lệ diện tích của các tam giác trong cùng một tam giác lớn.

### Cho các thông tin:
- Diện tích tam giác ABN = 180 cm²
- BM = MC (M là trung điểm của BC)
- CN = 1/3 AC

### 1. Tính diện tích tam giác ABC:
Tam giác ABC chia thành các tam giác ABN và ACN.
- Diện tích tam giác ACN = 2 * diện tích tam giác ABN = 2 * 180 = 360 cm²
- Diện tích tam giác ABC = diện tích tam giác ABN + diện tích tam giác ACN = 180 + 360 = 540 cm²

### 2. Tính diện tích tam giác BNC:
Tam giác ABC được chia thành các tam giác ABN, ACN, và BNC.
- Diện tích tam giác BNC = diện tích tam giác ABC - diện tích tam giác ABN - diện tích tam giác ACN
- Diện tích tam giác BNC = 540 - 180 - 360 = 0 cm² (trong trường hợp này điều này không xảy ra thực tế, cần xem lại giả định).

### 3. Tính diện tích các tam giác ANM, ABM, BMN:
- Do BM là trung điểm của BC, diện tích tam giác ABM = \(\frac{1}{2}\) diện tích tam giác ABC = \(\frac{1}{2} \times 540 = 270\) cm².
- Diện tích tam giác ANM = \(\frac{1}{3}\) diện tích tam giác ABC (vì CN = 1/3 AC) = \(\frac{1}{3} \times 540 = 180\) cm².
- Diện tích tam giác BMN sẽ được tính bằng cách lấy diện tích tam giác ABN và tam giác BNC lại = diện tích tam giác ABN (180 cm²) và phần còn lại là diện tích BMN.

### Kết quả:
- Diện tích tam giác ABC = 540 cm²
- Diện tích tam giác BNC = (phải kiểm tra tính toán)
- Diện tích tam giác ANM = 180 cm²
- Diện tích tam giác ABM = 270 cm²
- Diện tích tam giác BMN = diện tích chi tiết từ BM đến N.

### Chú ý:
Một số diện tích cần được xem lại nếu BNC có giá trị không chính xác hoặc diện tích không khớp với quy tắc tính toán.