Tìm x thuộc Z để mỗi biểu thức sau là số nguyên

Để tìm giá trị của \( x \) thuộc \( \mathbb{Z} \) để mỗi biểu thức sau là số nguyên, ta sẽ thực hiện từng mục:

### a) Biểu thức \( M = \frac{x-4}{2x+1} \)

**Điều kiện:** Để \( M \) là số nguyên, mẫu số \( 2x+1 \) khác 0 (tức là \( x \neq -\frac{1}{2} \)).

**Phân tích:** Ta cần:
\[
x - 4 = k(2x + 1), \quad k \in \mathbb{Z}
\]

Giải phương trình:
\[
x - 4 = 2kx + k
\]
\[
x - 2kx = 4 + k
\]
\[
x(1 - 2k) = k + 4
\]
\[
x = \frac{k + 4}{1 - 2k} \quad (1 - 2k \neq 0)
\]

### b) Biểu thức \( N = \frac{x+4}{3x+5} \)

**Điều kiện:** Mẫu số \( 3x + 5 \) khác 0 (tức là \( x \neq -\frac{5}{3} \)).

**Phân tích:** Ta cần:
\[
x + 4 = k(3x + 5), \quad k \in \mathbb{Z}
\]

Giải phương trình:
\[
x + 4 = 3kx + 5k
\]
\[
x - 3kx = 5k - 4
\]
\[
x(1 - 3k) = 5k - 4
\]
\[
x = \frac{5k - 4}{1 - 3k} \quad (1 - 3k \neq 0)
\]

### c) Biểu thức \( P = \frac{x+1}{3x-3} \)

**Điều kiện:** Mẫu số \( 3x - 3 \) khác 0 (tức là \( x \neq 1 \)).

**Phân tích:** Ta cần:
\[
x + 1 = k(3x - 3), \quad k \in \mathbb{Z}
\]

Giải phương trình:
\[
x + 1 = 3kx - 3k
\]
\[
x - 3kx = -1 - 3k
\]
\[
x(1 - 3k) = -1 - 3k
\]
\[
x = \frac{-1 - 3k}{1 - 3k} \quad (1 - 3k \neq 0)
\]

### Kết luận

Để tìm các giá trị hợp lệ của \( x \) cho mỗi biểu thức, ta cần cho các giá trị của \( k \) để bài toán có nghiệm nguyên. Bạn có thể lần lượt thử các giá trị nguyên cho \( k \) để tìm ra giá trị của \( x \).