Để chứng minh \( \angle NIP = 90^\circ + \frac{\angle NMP}{2} \) trong tam giác \( MNP \) với \( I \) là giao điểm của các đường phân giác trong của góc \( N \) và \( P \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Gọi các góc:**
- Gọi \( \angle MNP = A \).
- Gọi \( \angle NMP = B \).
- Gọi \( \angle NPM = C \).

2. **Áp dụng định lý về phân giác:**
- Từ định lý về đường phân giác, ta có:
- \( \angle NIP = 90^\circ + \frac{C}{2} \) (do phân giác trong của góc \( N \)).
- \( \angle PIM = 90^\circ + \frac{A}{2} \) (do phân giác trong của góc \( P \)).

3. **Xem xét tổng các góc:**
- Ta có tổng ba góc trong tam giác \( MNP \):
\[
A + B + C = 180^\circ.
\]
- Từ đây, ta có \( C = 180^\circ - A - B \).

4. **Thay thế vào công thức của \( \angle NIP \):**
- Thay \( C \) vào biểu thức của \( \angle NIP \):
\[
\angle NIP = 90^\circ + \frac{180^\circ - A - B}{2}.
\]
- Tính toán:
\[
\angle NIP = 90^\circ + 90^\circ - \frac{A}{2} - \frac{B}{2} = 180^\circ - \frac{A + B}{2}.
\]
- Từ tổng ba góc, ta biết:
\[
A + B = 180^\circ - C.
\]
- Do đó:
\[
\angle NIP = 90^\circ + \frac{C}{2}.
\]

5. **Kết luận:**
- Qua các bước chứng minh, ta có được:
\[
\angle NIP = 90^\circ + \frac{\angle NMP}{2}.
\]
- Vậy chứng minh đã hoàn tất.

\(\boxed{\text{Chứng minh hoàn thành}}.\)