Để giải bài toán này, chúng ta thực hiện các bước như sau:

### a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác KBA

Trong tam giác vuông ABC, ta có:
- AC = 3 cm
- BC = 5 cm

Đầu tiên, ta tính độ dài của cạnh AB bằng định lý Pytago:

\[
AB^2 = AC^2 + BC^2 = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34
\]

Như vậy, độ dài cạnh AB là:

\[
AB = \sqrt{34} \text{ cm}
\]

Bây giờ để chứng minh hai tam giác KBA và ABC đồng dạng, ta thực hiện như sau:

- Tam giác KBA có các góc:
1. Góc KBA = góc CAB (cùng nằm ở A)
2. Góc AKB = góc ABC (cùng vuông tại B)

Do đó, hai tam giác này có hai cặp góc bằng nhau, dẫn đến:

\[
\triangle KBA \sim \triangle ABC
\]

### b) Tính độ dài AK, BK, CK

Sử dụng tính chất của tam giác vuông và công thức đường cao:

1. \( AK \) (đường cao từ A xuống BC) có thể tính bằng công thức:

\[
AK = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{\sqrt{34} \cdot 3}{5}
\]

2. Tiếp theo, tính \( BK \) và \( CK \) dựa vào tỉ số cạnh trong tam giác vuông:

- Ta biết rằng:

\[
BK = \frac{AC}{BC} \cdot AB, \quad CK = \frac{BC}{AB} \cdot AC
\]

Thay các giá trị vào, ta có thể tính độ dài cụ thể.

### c) Phân giác góc ABC cắt AC tại D. Tính độ dài BD

Phân giác của góc trong tam giác có tỉ lệ giữa các cạnh kề là bằng nhau:

\[
\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} = \frac{\sqrt{34}}{5}
\]

Cho đoạn AD = x, đoạn DC = y:

\[
\frac{x}{y} = \frac{\sqrt{34}}{5} \implies 5x = y\sqrt{34}
\]

Đặt \( AD + DC = AC \):

\[
x + 5x = 3 \implies 6x = 3 \implies x = 0.5 \implies AD = 0.5 \text{ cm}, \quad DC = 2.5 \text{ cm}
\]

Cuối cùng, độ dài BD có thể tính theo định lý Pytago hay dựa vào tính chất của phân giác (kết hợp với các độ dài đã biết).

Hy vọng các bước trên giúp bạn giải quyết bài toán thành công!