Để chứng minh các điều kiện trong bài toán, ta bắt đầu từ điều kiện đầu tiên:

\[
a^2 + 3a = 2 \quad \text{và} \quad b^2 + 3b = 2
\]

**Bước 1: Giải phương trình bậc hai**

Ta có hai phương trình bậc hai:

\[
a^2 + 3a - 2 = 0
\]
\[
b^2 + 3b - 2 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm phương trình bậc hai \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\):

Với \(a^2 + 3a - 2 = 0\):
\[
a = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}
\]
Nghiệm \(a_1, a_2\) lần lượt là:
\[
a_1 = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2}, \quad a_2 = \frac{-3 - \sqrt{17}}{2}
\]
Tương tự, nghiệm cho \(b\) cũng giống như trên, chỉ khác tên gọi.

**Bước 2: Chứng minh \(a + b = -3\)**

Giả sử \(a\) và \(b\) là hai nghiệm của phương trình \(x^2 + 3x - 2 = 0\). Theo tính chất tổng và tích của nghiệm, ta có:
\[
S = a + b = -\frac{B}{A} = -3
\]

**Bước 3: Chứng minh \(a^3 + b^3 = -45\)**

Sử dụng công thức:
\[
a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)
\]

Ta đã biết \(a + b = -3\). Để tính \(a^2 - ab + b^2\), ta dùng:
\[
a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab
\]

Tính \(ab\):
\[
ab = \frac{C}{A} = -2
\]

Tính \(a^2 + b^2\):
\[
a^2 + b^2 = (-3)^2 - 2(-2) = 9 + 4 = 13
\]

Vậy:
\[
a^2 - ab + b^2 = a^2 + b^2 + ab = 13 - 2 = 15
\]

Cuối cùng, ta tính:
\[
a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) = -3 \cdot 15 = -45
\]

### Kết luận:
Ta đã chứng minh được rằng:
\[
a + b = -3 \quad \text{và} \quad a^3 + b^3 = -45
\]
Do đó, các điều kiện đã hoàn tất.