Để hiểu tại sao số thập phân tuần hoàn \(0,(1)\) (hay \(0.1111...\)) bằng \( \frac{1}{9} \), chúng ta có thể sử dụng một phương pháp toán học đơn giản. Dưới đây là các bước giải thích:

1. **Đặt \( x \) là giá trị của số thập phân tuần hoàn**:
\[
x = 0.1111...
\]

2. **Nhân cả hai bên với 10**:
\[
10x = 1.1111...
\]

3. **Trừ phương trình đầu tiên từ phương trình thứ hai**:
\[
10x - x = 1.1111... - 0.1111...
\]

Kết quả là:
\[
9x = 1
\]

4. **Chia cả hai bên cho 9**:
\[
x = \frac{1}{9}
\]

Vậy nên, chúng ta đã chứng minh rằng \( 0.1111... = \frac{1}{9} \).

Để kiểm tra lại, bạn có thể thực hiện phép chia \(1 \div 9\) trong hệ thống thập phân, sẽ thu được phần dư và dấu chấm lặp lại, dẫn đến \(0.1111...\).