Để chứng minh rằng OM là đường trung trực của AC trong hình chữ nhật ABCD, chúng ta cần chứng minh rằng:

1. \( OM \perp AC \)
2. \( OA = OC \)

**Bước 1: Tính chất của hình chữ nhật và giao điểm O**

Gọi tọa độ các điểm như sau:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \)
- \( C(a, b) \)
- \( D(0, b) \)
- Giao điểm O của hai đường chéo AC và BD, với \( O \) có tọa độ \( \left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right) \)

**Bước 2: Tìm tọa độ điểm E trên cạnh CD**

Điểm \( E \) trên cạnh \( CD \) có thể có tọa độ dưới dạng \( E(0, y_E) \) với \( 0 \leq y_E \leq b \).

**Bước 3: Phương trình đường thẳng AE**

Tọa độ điểm \( F \) được tìm thấy bằng cách xác định phương trình của đường thẳng \( AE \). Độ dốc của đường thẳng \( AE \) được tính toán như sau:

\[
\text{Độ dốc AE} = \frac{y_E - 0}{0 - 0} = \frac{y_E}{-0} \text{ (đường thẳng AE nằm dọc)}
\]

Mà đường vuông góc với đường thẳng AE tại A có độ dốc là \( -\frac{1}{\text{Độ dốc AE}} \). Và điểm F là giao điểm của đường vuông góc đó với cạnh BC.

**Bước 4: Tọa độ điểm F**

Phương trình của đường thẳng vuông góc với AE tại A có dạng:

\[
y = -\frac{1}{\text{Độ dốc AE}}(x - 0)
\]

Cạnh \( BC \) có phương trình \( x = a \). Thay vào phương trình đường thẳng trên để tìm được tọa độ điểm \( F \).

**Bước 5: Tìm tọa độ M**

M là trung điểm của EF, có tọa độ được tính bằng:

\[
M\left(\frac{0 + a}{2}, \frac{y_E + y_F}{2}\right)
\]

**Bước 6: Tính độ dốc OM và AC**

- Độ dốc đường thẳng AC là \( \frac{b-0}{a-0} = \frac{b}{a} \).
- Độ dốc đường thẳng OM (cần tính từ tọa độ O và M):

\[
\text{Độ dốc OM} = \frac{\frac{y_E + y_F}{2} - \frac{b}{2}}{\frac{a}{2} - \frac{a}{2}} = 0
\]

Vì vậy OM vuông góc với AC.

**Bước 7: Tính OA và OC**

Tính khoảng cách từ O đến A và O đến C:

\[
OA = OC = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{b}{2} - 0\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2}
\]

Do đó, \( OA = OC \).

**Kết luận:**

Vậy từ những lập luận trên, ta thấy \( OM \) là đường vuông góc với \( AC \) và \( OA = OC \), chứng tỏ rằng \( OM \) là đường trung trực của đoạn thẳng \( AC \).