Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng yêu cầu một.

### a) Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân

1. **Thông tin đã cho:**
- AD // BC (AD và BC là hai cạnh song song).
- AC vuông góc với CD.
- AC là tia phân giác của góc BAD.
- ∠D = 60 độ.

2. **Giải thích:**
- Vì AC là tia phân giác của góc BAD, ta có thể kết luận rằng:
\[
\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{DC}
\]
- Từ điều kiện AD // BC, ta có:
\[
\angle ADB = \angle ABC
\]
- Từ hình dạng, ta có:
- ∠D = 60 độ ⇒ ∠A = 120 độ (bố trí hình 2D).
- Do đó, trong tứ giác ABCD, ∠A + ∠D = 180 độ.
- Điều này làm cho hai cạnh AB và CD bằng nhau, tức là:
\[
AB = CD
\]
- Kết luận rằng tứ giác ABCD là hình thang cân, vì AB = CD và AD // BC.

### b) Tính độ dài AD (biết chu vi hình thang là 20cm)

1. **Tính chu vi:**
- Chu vi hình thang ABCD được cho là 20cm:
\[
AD + BC + AB + CD = 20 \text{cm}
\]
- Vì AD // BC và AB = CD, ta có:
\[
AD + BC + 2AB = 20
\]

2. **Tính độ dài cụ thể:**
- Gọi độ dài AD là \( x \) và độ dài BC là \( y \), ta có:
\[
x + y + 2AB = 20 \text{cm}
\]
- Với ∠D = 60 độ và điều kiện AC vuông góc với CD, ta có thể sử dụng định lý Pythagore hoặc các công thức lượng giác để thêm điều kiện để tính độ dài.

3. **Phân tích thêm:**
- Nếu ta giả định AB = CD = h, và AD > BC.
- Khi đó, ta cần thêm điều kiện về chiều cao hoặc độ dài cụ thể dựa trên các tỷ lệ hoặc góc đã biết.

### Kết luận:

Áp dụng các công thức và lý thuyết từ hình học, cho ta:
- Tứ giác ABCD là hình thang cân.
- Để tính độ dài AD, cần độ dài của BC và AB. Thông thường yêu cầu thêm thông tin để xác định từng giá trị cụ thể.

Bạn vui lòng cung cấp thêm thông tin hoặc các điều kiện khác nếu có để có thể tính toán chính xác hơn!