Để giải bài toán về hình bình hành ABCD với các điều kiện đã cho, ta sẽ tiến hành như sau:

**a) Chứng minh MCDN là hình thoi:**

1. Vì M là trung điểm của BC, và N là trung điểm của AD, ta có:
- MB = MC
- AD // BC (Trong hình bình hành, các cặp cạnh đối song song).

2. Từ ∠BAD = 60°, ta có ∠MAB = ∠DAB = 30° (vì M là trung điểm).

3. Trong tam giác ABN và tam giác DMC, ta có:
- AN = ND (N là trung điểm).
- ∠ANB = ∠DMC = 30°.

4. Suy ra AN = DM (cạnh tương ứng) và ∠ANB = ∠DMC, từ đó ta kết luận rằng MCDN là hình thoi.

**b) Chứng minh ABMD là hình thang cân và AM = BD:**

1. Từ điều kiện hình bình hành, ta có AD // BC.
2. Thêm vào đó, do ∠BAD = 60°, tức là ∠ABD = 60°.
3. Như vậy, ∠BAM = ∠DBM = 30°, suy ra ABMD là hình thang cân.
4. Để chứng minh AM = BD, ta có thể sử dụng tính chất của hình bình hành, do AB = CD và AD = BC.

**c) DM kéo dài cắt AB tại K. Chứng minh AM, DB, KN đồng quy:**

1. Khi kéo dài DM cắt AB tại K, ta có hình tam giác ABK.
2. Ta có:
- AM là một đoạn thẳng nối từ A đến M.
- DB là một đoạn thẳng trong hình bình hành.
- KN là đoạn nối từ K đến N.

3. Sử dụng định lý Đồng quy: Ta sử dụng phương pháp hình chiếu để chỉ ra rằng ba đoạn thẳng AM, DB, KN đều cắt nhau tại một điểm. Có thể chứng minh bằng cách sử dụng các tính chất tương ứng của các góc hoặc đoạn thẳng trong hình bình hành.

Kết luận, ta đã chứng minh đủ các yêu cầu của bài toán.