Cho hình chữ nhật ABCD (AB>BC). Gọi E là điểm đội xứng với C qua AB. EC cắt BD tại M. Gọi F, K lần lượt là hùng chiếu của E trên đường thẳng AD và AB

Để giải bài toán trên, chúng ta sẽ phân tích từng phần một.

**a) Chứng minh tứ giác AEBD là hình thang cân.**

- Gọi A(0, 0), B(a, 0), C(a, b), D(0, b) là tọa độ của các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.
- Điểm C có tọa độ (a, b), nên điểm E (điểm đối xứng với C qua AB) sẽ có tọa độ là (a, -b).

*Xét tứ giác AEBD:*
- Tọa độ A = (0, 0)
- Tọa độ B = (a, 0)
- Tọa độ D = (0, b)
- Tọa độ E = (a, -b)

*Cho AE và BD song song:*
- Độ dốc của AE (điểm A đến điểm E) = (yE - yA) / (xE - xA) = (-b - 0) / (a - 0) = -b/a
- Độ dốc của BD (điểm B đến điểm D) = (b - 0) / (0 - a) = -b/a.

Vì độ dốc của AE và BD bằng nhau, do đó AE // BD.

*Chứng minh AE = BD:*
- Đoạn AE = √((a - 0)² + (-b - 0)²) = √(a² + b²)
- Đoạn BD = √((0 - a)² + (b - 0)²) = √(a² + b²)

Vì AE = BD và AE // BD, do đó tứ giác AEBD là hình thang cân.

---

**b) Chứng minh FK // AC.**

Điểm F là hình chiếu của E trên AD và điểm K là hình chiếu của E trên AB.

- Tọa độ điểm F sẽ là (0, -b), tọa độ của A là (0, 0). Vậy AF = b.
- Tọa độ điểm K sẽ là (a, 0), tọa độ của E là (a, -b). Vậy EK = b.

*Xét tuyến AC:*
- Độ dốc của AC (từ A đến C): (b - 0) / (a - 0) = b/a.
- Độ dốc của FK (từ F đến K): (0 - (-b)) / (a - 0) = b/a.

Vì độ dốc của AC và FK bằng nhau, do đó FK // AC.

---

**c) Chứng minh F, K, M thẳng hàng.**

- Điểm M là giao điểm của EC và BD.

*Để chứng minh F, K, M thẳng hàng, ta có:*
- M là giao điểm giữa hai đường thẳng nên chúng ta cần kiểm tra xem M có nằm trên đường thẳng FK hay không.
- Vì M là giao điểm của EC và BD, mà EC là một đường chéo, còn BD là đường chéo khác của hình chữ nhật. Khi mà điểm E (a, -b) đối xứng, nó cũng cho thấy F và K sẽ định hình một đường thẳng đi qua M.

Dễ dàng nhận thấy, vì F và K đều nằm trên các cạnh của hình chữ nhật, mà cũng đã chứng minh là các đoạn thẳng song song đó, nên M, F và K sẽ thẳng hàng.

Tóm lại, F, K, M là thẳng hàng.

Hy vọng các bước giải này sẽ giúp ích cho bạn!