Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = x^2 + y^2 + z^2 - yz - 4x - 3y + 2027 \), chúng ta có thể xem các biến theo từng phần.

1. **Phân tích biểu thức theo từng biến**:
- Tách \( A \) theo biến \( z \):
\[
A = z^2 - yz + x^2 - 4x + y^2 - 3y + 2027
\]

2. **Tìm giá trị nhỏ nhất theo \( z \)**:
- \( A \) là một hàm bậc hai theo \( z \):
\[
A(z) = z^2 - yz + (x^2 - 4x + y^2 - 3y + 2027)
\]
- Để tìm giá trị nhỏ nhất, lấy đạo hàm và đặt nó bằng 0:
\[
\frac{dA}{dz} = 2z - y = 0 \implies z = \frac{y}{2}
\]
- Thay \( z = \frac{y}{2} \) vào \( A \):
\[
A\left(\frac{y}{2}\right) = \left(\frac{y}{2}\right)^2 - y\left(\frac{y}{2}\right) + x^2 - 4x + y^2 - 3y + 2027
\]
\[
= \frac{y^2}{4} - \frac{y^2}{2} + x^2 - 4x + y^2 - 3y + 2027
\]
\[
= \frac{y^2}{4} - \frac{2y^2}{4} + x^2 - 4x - 3y + 2027
\]
\[
= -\frac{y^2}{4} + x^2 - 4x - 3y + 2027
\]

3. **Tìm giá trị nhỏ nhất theo \( y \)**:
- Tách lại:
\[
A(x, y) = -\frac{y^2}{4} - 3y + (x^2 - 4x + 2027)
\]
- Xét hàm bậc hai theo \( y \):
\[
A(y) = -\frac{1}{4}y^2 - 3y + (x^2 - 4x + 2027)
\]
- Tính đạo hàm:
\[
\frac{dA}{dy} = -\frac{1}{2}y - 3 = 0 \implies y = -6
\]
- Thay vào để tìm giá trị nhỏ nhất theo \( y \):
\[
A(-6) = -\frac{1}{4}(-6)^2 - 3(-6) + (x^2 - 4x + 2027)
\]
\[
= -\frac{36}{4} + 18 + (x^2 - 4x + 2027)
\]
\[
= -9 + 18 + (x^2 - 4x + 2027) = 9 + (x^2 - 4x + 2027)
\]

4. **Tìm giá trị nhỏ nhất theo \( x \)**:
- Tách lại:
\[
A(x) = x^2 - 4x + 2036
\]
- Đạo hàm:
\[
\frac{dA}{dx} = 2x - 4 = 0 \implies x = 2
\]
- Tính giá trị:
\[
A(2) = 2^2 - 4(2) + 2036 = 4 - 8 + 2036 = 2032
\]

5. **Kết luận**:
- Thay giá trị \( x = 2 \) và \( y = -6 \) vào giá trị của \( z \):
\[
z = \frac{-6}{2} = -3
\]
- Giá trị nhỏ nhất của \( A \) là:
\[
A = 2032
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( A \) là \( \boxed{2032} \).