Để tính thể tích của hình lăng trụ đứng \( ABC A'B'C' \), trước tiên chúng ta cần tính diện tích đáy và sau đó sử dụng chiều cao để tính thể tích.

**Bước 1: Tính chu vi đáy**

Đáy của hình lăng trụ là tam giác \( ABC \), trong đó:
- \( AB = 5 \, \text{cm} \)
- \( AC = 12 \, \text{cm} \)

Để tính chiều dài cạnh \( BC \), chúng ta cần sử dụng định lý Pythagore. Giả sử \( AB = c, AC = b, \) và \( BC = a \).

Nhưng trước tiên, ta sẽ tính diện tích xung quanh (SA) để tìm được chiều cao và tổng diện tích.

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ là tổng diện tích của 3 hình chữ nhật có cạnh là cạnh tương ứng của tam giác và chiều cao lăng trụ.

Ký hiệu:
- \( h = AA' = 10 \, \text{cm} \)

Diện tích xung quanh \( S_A \) được tính bằng công thức:
\[
S_A = P \cdot h
\]
Trong đó \( P \) là chu vi đáy.

Theo đề bài,
\[
S_A = 300 \, \text{cm}^2 \rightarrow P \cdot 10 = 300 \rightarrow P = \frac{300}{10} = 30 \, \text{cm}
\]

**Bước 2: Tính diện tích đáy**

Chúng ta biết:
\[
P = AB + AC + BC
\]
\( AB + AC = 5 + 12 = 17 \, \text{cm} \), từ đó ta có:
\[
BC = P - (AB + AC) = 30 - 17 = 13 \, \text{cm}
\]

Bây giờ chúng ta có 3 cạnh của tam giác \( ABC \):
- \( AB = 5 \, \text{cm} \)
- \( AC = 12 \, \text{cm} \)
- \( BC = 13 \, \text{cm} \)

**Bước 3: Tính diện tích của đáy**

Tam giác \( ABC \) là tam giác vuông với \( AC \) là cạnh huyền. Diện tích \( S \) của tam giác tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \times AB \times AC
\]
Ở đây chúng ta cần xác định chiều cao ứng với cạnh đáy, bởi vậy chúng ta sử dụng cạnh đáy làm một cạnh và chiều cao là \( OC \).

Sử dụng định lý Heron tính diện tích:
\[
s = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{5 + 12 + 13}{2} = 15 \, \text{cm}
\]
Diện tích \( S \) được tính như sau:
\[
S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{15(15-5)(15-12)(15-13)} = \sqrt{15 \times 10 \times 3 \times 2}
\]
\[
S = \sqrt{15 \times 60} = \sqrt{900} = 30 \, \text{cm}^2
\]

**Bước 4: Tính thể tích lăng trụ**

Thể tích \( V \) của hình lăng trụ được tính bằng công thức:
\[
V = S \cdot h
\]
Trong đó:
- \( S = 30 \, \text{cm}^2 \) (diện tích đáy),
- \( h = 10 \, \text{cm} \) (chiều cao).

Do đó:
\[
V = 30 \times 10 = 300 \, \text{cm}^3
\]

Vậy thể tích của hình lăng trụ đứng \( ABC A'B'C' \) là \( 300 \, \text{cm}^3 \).