Để chứng minh theo yêu cầu của bài toán, ta thực hiện các bước như sau:

1. **Chứng minh \(b \parallel c\):**
- Ta có \(a \perp b\) và \(a \perp c\), nghĩa là góc \(ABM = 90^\circ\) và góc \(CDN = 90^\circ\).
- Gọi góc \(ABD = 60^\circ\) và góc \(BCD = 60^\circ\).
- Từ đó, ta có thể nhìn nhận rằng từ \(b\) và \(c\) cùng có các góc đối đỉnh với góc \(ABD\) và góc \(BCD\).
- Áp dụng định lý góc đồng vị, ta có \(b \parallel c\) (2 đường thằng song song khi có 1 đường transversal cắt qua).

2. **Chứng minh \(c \parallel d\):**
- Tương tự như trên, áp dụng về góc đối đỉnh và góc ngoài, ta có:
- Góc \(DCB = 60^\circ\) (cùng với góc \(DCA\)).
- Vì \(c\) và \(d\) cũng cắt nhau qua một đường thẳng, nên cũng có thể chứng minh rằng \(c \parallel d\) bằng phương pháp tương tự.

3. **Tình hình \(ABD\):**
- Tính tổng các góc của tam giác \(ABD\):
- Ta có góc \(ABM = 90^\circ\), góc \(ABD = 60^\circ\).
- Góc \(ADB = 180^\circ - (90^\circ + 60^\circ) = 30^\circ\).
- Do đó, góc \(ABD\) và \(ADB\) có thể thấy rằng tổng ba góc của tam giác \(ABD\) luôn bằng \(180^\circ\).

Bằng cách này, ta có thể hoàn tất bài toán chứng minh.