Để chứng minh các yêu cầu trong hình bình hành ABCD với K và I lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD, ta sẽ làm từng bước như sau:

### a) Chứng minh rằng \( AI = CK \) và \( \angle IAC = \angle KCA \)

1. **Xác định tọa độ các điểm:**
- Gọi \( A(0, 0) \), \( B(a, 0) \), \( D(0, b) \), \( C(a, b) \). Do ABCD là hình bình hành, nên các điểm B và D được xác định sao cho AC // BD và AD // BC.
- Điểm K, trung điểm AB:
\[
K = \left(\frac{0+a}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, 0\right)
\]
- Điểm I, trung điểm CD:
\[
I = \left(\frac{0+a}{2}, \frac{b+b}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, b\right)
\]

2. **Tính độ dài AI và CK:**
- Độ dài \( AI \):
\[
AI = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + (b - 0)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + b^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + b^2}
\]
- Độ dài \( CK \):
\[
CK = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - a\right)^2 + (0 - b)^2} = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + b^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + b^2}
\]

3. **Kết luận:**
\( AI = CK \).

4. **Chứng minh góc \( \angle IAC = \angle KCA \):**
- Xét tam giác \( AIC \) và \( KCA \):
- Tam giác \( AIC \) có độ dài các cạnh là \( AI, AC, IC \).
- Tam giác \( KCA \) có độ dài các cạnh là \( CK, AC, KA \).
- Bởi vì \( AI = CK \) và cả hai tam giác có một cạnh chung là \( AC \) nên theo định lý về tỷ lệ cạnh và góc (Công thức Tới Lê), ta có \( \angle IAC = \angle KCA \).

### b) Chứng minh rằng \( AI \parallel CK \)

1. **Tính toán vectơ:**
- Véc tơ \( AI = I - A = \left(\frac{a}{2}, b\right) - (0,0) = \left(\frac{a}{2}, b\right) \)
- Véc tơ \( CK = K - C = \left(\frac{a}{2}, 0\right) - (a,b) = \left(-\frac{a}{2}, -b\right) \)

2. **Tính độ dốc của các vectơ:**
- Độ dốc của \( AI \):
\[
\text{slope of } AI = \frac{b - 0}{\frac{a}{2} - 0} = \frac{2b}{a}
\]
- Độ dốc của \( CK \):
\[
\text{slope of } CK = \frac{0 - b}{\frac{a}{2} - a} = \frac{-b}{-\frac{a}{2}} = \frac{2b}{a}
\]

3. **Kết luận:**
Vì độ dốc của \( AI \) bằng độ dốc của \( CK \), ta có \( AI \parallel CK \).

Tóm lại, ta đã chứng minh được các yêu cầu \( AI = CK \), \( \angle IAC = \angle KCA \) và \( AI \parallel CK \).