Để tìm số tự nhiên \( a \) sao cho \( A = a^2 + 10a + 136 \) là số chính phương, ta có thể thực hiện như sau:

1. Đặt \( A = n^2 \) với \( n \) là một số nguyên không âm.
2. Ta có phương trình:
\[
n^2 = a^2 + 10a + 136
\]
hoặc
\[
a^2 + 10a + (136 - n^2) = 0
\]
3. Để phương trình bậc 2 này có nghiệm thực, delta (Δ) phải không âm:
\[
\Delta = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (136 - n^2) \geq 0
\]
\[
\Delta = 100 - 544 + 4n^2 \geq 0
\]
\[
4n^2 - 444 \geq 0
\]
\[
n^2 \geq 111
\]
Do đó, \( n \geq \lceil \sqrt{111} \rceil \approx 11 \). Vậy \( n \) bắt đầu từ 11.

4. Thay giá trị \( n \) vào phương trình và tìm nghiệm cho các giá trị \( n \) từ 11 trở lên.
\[
n = 11: A = 11^2 = 121
\]
\[
a^2 + 10a + 136 = 121 \implies a^2 + 10a + 15 = 0
\]
\[
\Delta = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 100 - 60 = 40 \geq 0
\]
Nghiệm là:
\[
a = \frac{-10 \pm \sqrt{40}}{2} = -5 \pm \sqrt{10}
\]
Chỉ có nghiệm số tự nhiên \( a \) không khả thi.

Tiếp tục với các giá trị \( n = 12, 13, 14, \ldots \):

5. Lặp lại cho đến khi tìm được nghiệm \( a \) là số tự nhiên ở một số chính phương.

Tiếp tục quy trình này cho đến khi không còn giá trị \( n \) nào khả thi hoặc tìm thấy ít nhất một giá trị \( a \).

Cuối cùng, nếu không tìm thấy giá trị \( a \), ta sẽ kết luận không có \( a \) nào thỏa mãn yêu cầu.