Để rút gọn các biểu thức lượng giác trong bài toán của bạn, ta sẽ xem từng phần một.

## i)
\[
\sqrt{\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}} + \sqrt{\frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}}
\]

### Bước 1: Sử dụng công thức biến đổi
Sử dụng công thức \(1 - \sin^2 x = \cos^2 x\):
\[
\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} = \frac{(1 + \sin x)^2}{\cos^2 x}
\]
Tương tự cho biểu thức thứ hai.

### Bước 2: Rút gọn từng biểu thức
- Biểu thức 1:
\[
\sqrt{\frac{(1 + \sin x)^2}{\cos^2 x}} = \frac{1 + \sin x}{\cos x}
\]
- Biểu thức 2:
\[
\sqrt{\frac{(1 - \sin x)^2}{\cos^2 x}} = \frac{1 - \sin x}{\cos x}
\]

### Bước 3: Cộng lại
Thay vào biểu thức ban đầu:
\[
\frac{1 + \sin x}{\cos x} + \frac{1 - \sin x}{\cos x} = \frac{(1 + \sin x) + (1 - \sin x)}{\cos x} = \frac{2}{\cos x} = 2 \sec x
\]

Kết quả cho phần (i):
\[
2 \sec x
\]

## k)
\[
\cos x - \sqrt{\tan^2 x - \sin^2 x}
\]

### Bước 1: Chuyển đổi tan
\[
\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \Rightarrow \tan^2 x - \sin^2 x = \frac{\sin^2 x - \sin^2 x \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin^2 x (1 - \cos^2 x)}{\cos^2 x} = \frac{\sin^2 x \sin^2 x}{\cos^2 x}
\]
Cái này sẽ trở thành:
\[
\sqrt{\tan^2 x - \sin^2 x} = \frac{\sin^2 x}{|\cos x|}
\]

### Bước 2: Thay vào biểu thức
\[
\cos x - \frac{\sin^2 x}{|\cos x|}
\]
Nếu \( \cos x \neq 0 \) (điều này đúng với \( x \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \)):
\[
= \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{|\cos x|} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos x}
\]

### Bước 3: Rút gọn
\[
= \cos x - \tan^2 x = \cos x - \tan^2 x
\]

Kết quả cho phần (k):
\[
\cos x - \tan^2 x
\]

### Kết luận:
- Phần (i) rút gọn thành \( 2 \sec x \).
- Phần (k) rút gọn thành \( \cos x - \tan^2 x \).

Nếu bạn có thêm câu hỏi hay cần giải thích thêm, hãy cho mình biết nhé!