Để tính góc \(\hat{BIH}\) trong tam giác nhọn \(ABC\) với \(\angle C = 60^\circ\) và hai đường cao \(AH\) và \(BD\) cắt nhau tại \(I\), ta có thể áp dụng một số tính chất trong hình học.

1. **Các góc tạo thành**: Tại điểm \(I\), hai đường cao sẽ tạo ra một số góc liên quan đến các góc tại đỉnh của tam giác.
2. **Góc \(I\)**: Vì \(I\) là điểm giao nhau của hai đường cao, ta có thể sử dụng các tính chất của góc trong tam giác để xác định giá trị của \(\angle BIH\).
3. **Tính toán**:
- Từ tam giác \(ABC\), ta có:
\[
\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ
\]
Thay \(\angle C = 60^\circ\):
\[
\angle A + \angle B = 120^\circ
\]
- Tại \(I\), ta có:
\[
\angle AIB = 90^\circ - \frac{1}{2} \angle C = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ
\]
- Điều này cho thấy \(\angle BIH\) có thể được tính như sau:
\[
\angle BIH = 90^\circ - \angle AIB = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ
\]

Kết luận: \(\angle BIH = 30^\circ\).