Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta cần vẽ hình minh họa cho tam giác ABC cân tại A và các đường vuông góc BD, CE. Dưới đây là các bước để tiến hành chứng minh theo các phần được yêu cầu:

### Bước 1: Vẽ hình
1. Vẽ tam giác ABC với A là đỉnh, B và C là hai đỉnh còn lại sao cho AB = AC (tam giác cân tại A).
2. Kẻ đoạn thẳng BD vuông góc với AC tại điểm D.
3. Kẻ đoạn thẳng CE vuông góc với AB tại điểm E.

### Bước 2: Chứng minh DA = DE
Để chứng minh DA = DE, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác vuông:

- Xét tam giác ADB và tam giác AEC:
- Hai tam giác này có chung một góc A và đều là tam giác vuông tại D và E.
- Do tam giác ABC cân tại A, nên AB = AC.

Vì vậy, theo định lý Pythagore, ta có:
- Trong tam giác ADB:
\[
AB^2 = AD^2 + BD^2
\]
- Trong tam giác AEC:
\[
AC^2 = AE^2 + CE^2
\]

Lại do AB = AC, nên AD = AE, và từ đó ta có:
- DA = DE.

### Bước 3: Chứng minh DE // BC
Dễ thấy rằng:
- BD ⊥ AC
- CE ⊥ AB

Vì vậy, theo tính chất của hai đường vuông góc, ta được:
- DE // BC.

### Bước 4: Chứng minh A, O, I thẳng hàng
Gọi I là trung điểm của BC. Tại đây, chúng ta đi đến việc chứng minh O (giao điểm của BD và CE) và I nằm trên đường thẳng A:

- Từ chứng minh trước đó về tỉ lệ và liên hệ các đoạn thẳng trong tam giác, ta có thể kết luận rằng:
1. Mỗi đường BD và CE cắt nhau tại O, do đó O nằm trong tam giác.
2. Ta cũng cho rằng AI là đường trung tuyến từ A đến BC, do đó AI sẽ cắt BC tại I.
3. Xét các góc tại O và I, có thể áp dụng định lý, từ đó đưa ra kết luận rằng A, O, I thẳng hàng.

### Tổng Kết:
Bằng việc sử dụng các tính chất về tam giác vuông, tính chất của tam giác cân và đường trung tuyến, chúng ta đã chứng minh được các điểm theo yêu cầu của bài toán.

### Ghi chú:
Để hình để minh họa có thể thay đổi trong thao tác vẽ, nhưng lý thuyết sẽ nhất quán với những gì đã được trình bày.