Vì AD là đường phân giác của góc A nên

DBDC=ABAC⇒DBDB+DC=ABAB+AC

⇒DB=a.cb+c và DC=a.bb+c

Ta phải chứng minh AD2=AB.AC−DB.DC

Thật vậy, trên tia đối AD lấy E sao cho CBE^=DAC^=DAB^

⇒ΔCED~ΔABD (g.g) suy ra DB.DC=AD.DE và ABD^=AEC^

⇒ΔABD~ΔAEC (g.g) suy ra AB.AC=AD.AE

Do đó AB.AC−DB.DC=AD(AE−DE)=AD2

Khi đó

AD2=AB.AC−DB.DC=bc−acb+c.abb+c=bc.1−a2(b+c)2=bcb2+c2+2bc−a2(b+c)2

Theo giả thiết tam giác ABC  vuông tại A nên b2+c2=a2

Do đó AD2=2b2c2(b+c)2⇒AD=2b+cbc