1) Ta có OBK^=ODK^=90°

⇒OBK^+ODK^=180°.

Do đó tứ giác BODK nội tiếp.

2) Ta có KB = KD (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Ta lại có OB = OD nên OK là đường trung trực của BD

Suy ra KO⊥BD⇒OI⊥BD.

Xét tam giác ABK vuông tại B nên KB2=KC.KA.

Xét tam giác OBK vuông tại B nên KB2=KI⋅KO.

3) Xét KCI và KOA ta có góc K chung, KC⋅KA=KI⋅KO⇔KCKI=KOKA.

Suy ra ΔKCI∽ΔKOAc.g.c. Suy ra KCI^=KOA^. (*)

Xét tam giác ACF và BAK có KBA^=CAF^=90° (1)

Mà tam giác OAC cân tại O nên OAC^=OCA^ (2)

Từ (1) và (2) suy ra ΔACF∽ΔBAK  

Suy ra BABK=ACAF⇔2BOBK=2AEAF⇔BKAF=BOAE.

Xét tam giác AEF và BOK ta có KBO^=EAF^=90° và BKAF=BOAE

 Nên  ΔAEF∽ΔBOK suy ra AEF^=BOK^⇒KEF^=KOA^ (cùng bù với AEF^) (**)

Từ (*) và (**)  ta có KCI^=KEF^ suy ra EF // CI.

Xét tam giác ACI có E là trung điểm của AC và EF // CI nên H là trung điểm của AI.