Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Cho hàm số \[y = mx + 3\;\left( \right)\] và \(y = - \frac{x}{m} + 3\;\left( \right)\). Gọi A là giao điểm của d1 và d2, B và C lần lượt là giao của d1 và d2, với Ox. Tìm m nhỏ nhất để tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất.

Cho hàm số \[y = mx + 3\;\left( \right)\] và \(y = - \frac{x}{m} + 3\;\left( \right)\). Gọi A là giao điểm của d1 và d2, B và C lần lượt là giao của d1 và d2, với Ox. Tìm m nhỏ nhất để tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất.
1 trả lời
Hỏi chi tiết
14
0
0
Phạm Minh Trí
11/09 12:18:02

Lời giải

• Vì A là giao điểm của d1 và d2 nên hoành độ giao điểm của A là nghiệm của phương trình nên:

\(mx + 3 = - \frac{x}{m} + 3 \Leftrightarrow mx = - \frac{x}{m}\)

\( \Leftrightarrow mx + \frac{x}{m} = 0 \Leftrightarrow x\left( {m + \frac{1}{m}} \right) = 0\)

\( \Rightarrow x = 0\)

Khi đó tọa độ của điểm A là A(0; 3).

• Vì B là giao điểm của d1 và Ox nên hoành độ giao điểm của B là nghiệm của phương trình nên:

mx + 3 = 0 \[ \Leftrightarrow x = - \frac{3}{m}\].

Khi đó, tọa độ của điểm B là \(B\left( { - \frac{3}{m};\;0} \right)\).

• Vì C là giao điểm của d2 và Ox nên hoành độ giao điểm của C là nghiệm của phương trình nên:

\( - \frac{x}{m} + 3 = 0\)\( \Leftrightarrow x = 3m\).

Khi đó, tọa độ của điểm C là C(3m; 0).

Hệ số góc của d1 là m và hệ số góc của d2 là \( - \frac{1}{m}\) có \(m.\left( { - \frac{1}{m}} \right) = - 1\) nên hai đường thẳng d1 và d2 vuông góc với nhau tại A.

Khi đó, tam giác ABC là tam giác vuông tại A và có diện tích là \(\frac{1}{2}AB.AC\).

Ta có: \(AB = \sqrt {{{\left( { - \frac{3}{m}} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = 3\sqrt {\frac{1}{{{m^2}}} + 1} = 3\sqrt {\frac}{{{m^2}}}} \);

\[AC = \sqrt {{{\left( {3m} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = 3\sqrt {{m^2} + 1} \]

\( \Rightarrow \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt {\frac}{{{m^2}}}} \cdot 3\sqrt {{m^2} + 1} = \frac{{9\left( {{m^2} + 1} \right)}}{{2\left| m \right|}} = \frac{9}{2}\left( {\left| m \right| + \frac{1}{{\left| m \right|}}} \right)\)

Áp dụng BĐT Cô-si vào 2 số dương \(\left| m \right|\) và \(\frac{1}{{\left| m \right|}}\) ta có:

\(\frac{1}{2}AB.AC = \frac{9}{2}\left( {\left| m \right| + \frac{1}{{\left| m \right|}}} \right) \ge \frac{9}{2} \cdot 2\sqrt {\left| m \right| \cdot \frac{1}{{\left| m \right|}}} = 9\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left| m \right| = \frac{1}{{\left| m \right|}}\)

\( \Leftrightarrow {m^2} = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1\)

Vậy giá trị m nhỏ nhất là m = −1 thì diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất là 9.

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời

(?)
Bạn đã đạt đến giới hạn của mình. Bằng cách Đăng ký tài khoản, bạn có thể xem toàn bộ nội dung trả lời
Cải thiện điểm số của bạn bằng cách đăng ký tài khoản Lazi.
Xem toàn bộ các câu trả lời, chat trực tiếp 1:1 với đội ngũ Gia sư Lazi bằng cách Đăng nhập tài khoản ngay bây giờ
Tôi đã có tài khoản? Đăng nhập

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm
Bài tập liên quan

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Gia sư Lazi Gia sư